Помогите, пожалуйста, с интегралами!

1. Как найти интеграл от 1 до 2 3x в степени 3 dx?
2. Как вычислить интеграл от 2 до 4 dx/x в квадрате?
3. Как решить интеграл от 0 до пи/2 cos x dx?
4. Как найти интеграл от пи/2 до пи sin 2x dx?

Алгебра 11 класс Интегралы и методы интегрирования интегралы алгебра 11 класс вычисление интегралов интеграл от 1 до 2 интеграл от 2 до 4 интеграл от 0 до пи/2 интеграл от пи/2 до пи задачи по интегралам Новый

Давайте по очереди разберем каждый из ваших вопросов по интегралам.

1. Интеграл от 1 до 2 3x в степени 3 dx

Сначала запишем интеграл:

∫(от 1 до 2) 3x^3 dx.

Для нахождения интеграла, нам нужно найти первообразную функции 3x^3. Мы используем правило интегрирования:

• ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

В нашем случае n = 3, тогда:

∫3x^3 dx = 3 * (x^(3+1))/(3+1) = 3 * (x^4)/4 = (3/4)x^4.

Теперь подставим пределы интегрирования:

(3/4)(2^4) - (3/4)(1^4) = (3/4)(16) - (3/4)(1) = 12 - 0.75 = 11.25.

Ответ: 11.25.

2. Интеграл от 2 до 4 dx/x в квадрате

Записываем интеграл:

∫(от 2 до 4) (1/x^2) dx.

Здесь мы можем использовать правило интегрирования:

• ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n = -2.

Таким образом,:

∫(1/x^2) dx = ∫x^(-2) dx = (x^(-1))/(-1) = -1/x.

Теперь подставим пределы интегрирования:

-1/4 - (-1/2) = -1/4 + 1/2 = -1/4 + 2/4 = 1/4.

Ответ: 1/4.

3. Интеграл от 0 до π/2 cos x dx

Записываем интеграл:

∫(от 0 до π/2) cos x dx.

Первообразная функции cos x – это sin x. Поэтому:

∫cos x dx = sin x.

Теперь подставим пределы интегрирования:

sin(π/2) - sin(0) = 1 - 0 = 1.

Ответ: 1.

4. Интеграл от π/2 до π sin 2x dx

Записываем интеграл:

∫(от π/2 до π) sin(2x) dx.

Для нахождения первообразной функции sin(2x) мы используем замену переменной или знаем, что:

∫sin(kx) dx = -1/k * cos(kx) + C, где k=2.

Таким образом:

∫sin(2x) dx = -1/2 * cos(2x).

Теперь подставим пределы интегрирования:

[-1/2 * cos(2π)] - [-1/2 * cos(π)] = [-1/2 * 1] - [-1/2 * (-1)] = -1/2 + 1/2 = 0.

Ответ: 0.

Надеюсь, эти объяснения помогут вам лучше понять, как находить интегралы! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.