Как можно определить частное решение линейного однородного уравнения второго порядка y"-y'-2y=0, если заданы начальные условия y(0)=0 и y'(0)=3?

Алгебра 11 класс Линейные дифференциальные уравнения второго порядка частное решение линейное однородное уравнение уравнение второго порядка начальные условия алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти частное решение линейного однородного уравнения второго порядка y'' - y' - 2y = 0 с заданными начальными условиями y(0) = 0 и y'(0) = 3, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти характеристическое уравнение.

   Для этого заменим y на e^(rt), где r — корень характеристического уравнения. Подставим это в уравнение:

   y'' = r²e^(rt), y' = re^(rt), y = e^(rt).

   Подставляя в уравнение, получаем:

   r²e^(rt) - re^(rt) - 2e^(rt) = 0.

   Упрощая, получаем характеристическое уравнение:

   r² - r - 2 = 0.

2. Решить характеристическое уравнение.

   Для решения уравнения r² - r - 2 = 0 применим формулу корней:

   r = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

   Подставим значения:

   r = (1 ± √((-1)² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1) = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± √9) / 2 = (1 ± 3) / 2.

   Таким образом, получаем два корня:

   • r1 = 2
   • r2 = -1
3. Записать общее решение уравнения.

   Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:

   y(t) = C1 * e^(2t) + C2 * e^(-t),

   где C1 и C2 — произвольные константы.

4. Подставить начальные условия.

   Теперь подставим начальные условия для нахождения констант C1 и C2.

   Сначала подставим y(0) = 0:

   0 = C1 * e^(0) + C2 * e^(0) = C1 + C2.

   Таким образом, получаем уравнение:

   C1 + C2 = 0. (1)

5. Найти производную y(t).

   Теперь найдем производную y(t):

   y'(t) = 2C1 * e^(2t) - C2 * e^(-t).

   Подставим y'(0) = 3:

   3 = 2C1 * e^(0) - C2 * e^(0) = 2C1 - C2.

   Таким образом, получаем второе уравнение:

   2C1 - C2 = 3. (2)

6. Решить систему уравнений.

   Теперь у нас есть система из двух уравнений:

   • (1) C1 + C2 = 0
   • (2) 2C1 - C2 = 3

   Из первого уравнения выразим C2:

   C2 = -C1.

   Подставим это в второе уравнение:

   2C1 - (-C1) = 3,

   2C1 + C1 = 3,

   3C1 = 3,

   C1 = 1.

   Теперь подставим значение C1 в первое уравнение:

   1 + C2 = 0,

   C2 = -1.

7. Записать частное решение.

   Теперь, зная значения C1 и C2, можем записать частное решение:

   y(t) = 1 * e^(2t) - 1 * e^(-t) = e^(2t) - e^(-t).

Таким образом, частное решение уравнения y'' - y' - 2y = 0 с начальными условиями y(0) = 0 и y'(0) = 3 равно:

y(t) = e^(2t) - e^(-t).