Как определить общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка, если имеется уравнение y' = x + y?

Алгебра 11 класс Линейные дифференциальные уравнения второго порядка общее решение линейные однородные уравнения Дифференциальные уравнения порядок уравнения метод решения Новый

Чтобы решить дифференциальное уравнение первого порядка, такое как y' = x + y, мы сначала преобразуем его в стандартную форму и затем найдем его общее решение. Однако, стоит отметить, что это уравнение не является линейным однородным уравнением второго порядка. Вместо этого, мы имеем линейное неоднородное уравнение первого порядка. Давайте разберем, как его решить.

Шаги решения:

1. Перепишите уравнение в стандартной форме:

   У нас есть уравнение y' = x + y. Мы можем переписать его в виде:

   y' - y = x.

2. Найдите интегрирующий множитель:

   Чтобы решить это уравнение, нам нужен интегрирующий множитель. Он определяется как:

   μ(x) = e^(∫(-1)dx) = e^(-x).

3. Умножьте уравнение на интегрирующий множитель:

   Теперь умножим все части уравнения на e^(-x):

   e^(-x) * y' - e^(-x) * y = x * e^(-x).

4. Примените правило производной:

   Левая часть уравнения теперь является производной произведения:

   (e^(-x) * y)' = x * e^(-x).

5. Интегрируйте обе стороны:

   Теперь интегрируем обе стороны:

   ∫(e^(-x) * y)'dx = ∫(x * e^(-x))dx.

   Левую сторону мы просто интегрируем:

   e^(-x) * y = ∫(x * e^(-x))dx + C.

6. Решите интеграл правой стороны:

   Для интеграла ∫(x * e^(-x))dx используем метод интегрирования по частям:

   Пусть u = x, dv = e^(-x)dx. Тогда du = dx, v = -e^(-x).

   Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

   ∫u dv = uv - ∫v du.

   Получаем:

   -x * e^(-x) - ∫(-e^(-x))dx = -x * e^(-x) + e^(-x) + C.

7. Подставьте интеграл обратно:

   Теперь подставим результат интегрирования обратно в уравнение:

   e^(-x) * y = -x * e^(-x) + e^(-x) + C.

8. Упростите и выразите y:

   Умножим обе стороны на e^(x):

   y = -x + 1 + Ce^(x).

Итак, общее решение данного уравнения: y = -x + 1 + Ce^(x), где C - произвольная константа.