Как можно определить сумму (или корень, если он единственный) корней уравнения (x²-3x-4)^(1/3) + (2x²-5x-12)^(1/3) = -(2x²-7x-4)^(1/3)?

Алгебра 11 класс Кубические уравнения сумма корней уравнения корень уравнения алгебра 11 класс решение уравнений кубический корень методы решения уравнений алгебраические выражения Новый

Для решения уравнения (x²-3x-4)^(1/3) + (2x²-5x-12)^(1/3) = -(2x²-7x-4)^(1/3), начнем с упрощения уравнения. Обозначим:

• a = (x² - 3x - 4)^(1/3)
• b = (2x² - 5x - 12)^(1/3)
• c = (2x² - 7x - 4)^(1/3)

Тогда уравнение можно переписать как:

a + b = -c

Теперь выразим c через a и b:

c = - (a + b)

Теперь возведем обе стороны уравнения в третью степень:

c³ = -(a + b)³

Подставим выражения для a, b и c:

• c³ = 2x² - 7x - 4
• -(a + b)³ = -[(x² - 3x - 4)^(1/3) + (2x² - 5x - 12)^(1/3)]³

Теперь нам нужно раскрыть куб суммы:

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

Следовательно, у нас получится:

2x² - 7x - 4 = -[a³ + b³ + 3ab(a + b)]

Здесь a³ и b³ можно выразить через x:

• a³ = x² - 3x - 4
• b³ = 2x² - 5x - 12

Теперь подставим a³ и b³ в уравнение:

2x² - 7x - 4 = -[(x² - 3x - 4) + (2x² - 5x - 12) + 3ab(a + b)]

Сложим a³ и b³:

(x² - 3x - 4) + (2x² - 5x - 12) = 3x² - 8x - 16

Теперь у нас есть:

2x² - 7x - 4 = -[3x² - 8x - 16 + 3ab(a + b)]

Решим это уравнение для нахождения x. После этого мы можем найти корни уравнения и определить их сумму.

Однако, для более простого подхода, можно попробовать подставить значения x, чтобы найти корни уравнения. Например, подставляя целые числа, мы можем быстро определить, будет ли уравнение равным нулю.

После нахождения корней, если они существуют, мы можем легко определить их сумму. Если у нас есть только один корень, то он будет единственным решением уравнения.

Таким образом, основная идея состоит в том, чтобы упростить уравнение и найти его корни, а затем определить их сумму или единственный корень.