Как можно определить уравнение касательной для следующих функций в указанных точках: 1) y=3x^3 при x0=1, 2) y=cosx при x0=П/6, 3) Y=2sinx при x0=П/4, 4) y=2+(корень из x) при x0=4?

Алгебра 11 класс Уравнение касательной к графику функции Уравнение касательной функции алгебра 11 класс производная точки касания нахождение касательной Новый

Чтобы определить уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции. Это необходимо для определения углового коэффициента касательной.
2. Вычислить значение функции в данной точке. Это поможет найти координаты точки касания.
3. Использовать формулу уравнения касательной. Уравнение касательной можно записать в виде: y - y0 = f'(x0)(x - x0), где (x0, y0) - точка касания, а f'(x0) - производная в этой точке.

Теперь применим эти шаги к каждой из функций:

1. Функция: y = 3x^3 при x0 = 1
• Находим производную: f'(x) = 9x^2.
• Вычисляем значение производной в точке x0 = 1: f'(1) = 9 * 1^2 = 9.
• Находим значение функции в этой точке: y(1) = 3 * 1^3 = 3.
• Теперь подставим в формулу касательной: y - 3 = 9(x - 1).
• Упростим: y = 9x - 9 + 3 = 9x - 6.
2. Функция: y = cos(x) при x0 = П/6
• Находим производную: f'(x) = -sin(x).
• Вычисляем значение производной в точке x0 = П/6: f'(П/6) = -sin(П/6) = -1/2.
• Находим значение функции в этой точке: y(П/6) = cos(П/6) = √3/2.
• Теперь подставим в формулу касательной: y - √3/2 = -1/2(x - П/6).
• Упростим: y = -1/2x + П/12 + √3/2.
3. Функция: y = 2sin(x) при x0 = П/4
• Находим производную: f'(x) = 2cos(x).
• Вычисляем значение производной в точке x0 = П/4: f'(П/4) = 2cos(П/4) = 2 * √2/2 = √2.
• Находим значение функции в этой точке: y(П/4) = 2sin(П/4) = 2 * √2/2 = √2.
• Теперь подставим в формулу касательной: y - √2 = √2(x - П/4).
• Упростим: y = √2x - П√2/4 + √2.
4. Функция: y = 2 + √x при x0 = 4
• Находим производную: f'(x) = 1/(2√x).
• Вычисляем значение производной в точке x0 = 4: f'(4) = 1/(2√4) = 1/4.
• Находим значение функции в этой точке: y(4) = 2 + √4 = 2 + 2 = 4.
• Теперь подставим в формулу касательной: y - 4 = 1/4(x - 4).
• Упростим: y = 1/4x + 4 - 1 = 1/4x + 3.

Таким образом, уравнения касательных для каждой из функций выглядят следующим образом:

• 1) y = 9x - 6
• 2) y = -1/2x + П/12 + √3/2
• 3) y = √2x - П√2/4 + √2
• 4) y = 1/4x + 3