Похожие вопросы
2025-03-01 15:19:04
Давайте сначала подтвердим тождество: 2cos^2(45 + 3a) + sin(6a) = 1.
1. Начнем с преобразования левой части тождества. Используем формулу косинуса суммы:
- cos(45 + 3a) = cos(45)cos(3a) - sin(45)sin(3a).
Зная, что cos(45) = sin(45) = √2/2, подставим это значение:
- cos(45 + 3a) = (√2/2)cos(3a) - (√2/2)sin(3a) = (√2/2)(cos(3a) - sin(3a)).
2. Теперь найдем cos^2(45 + 3a):
- cos^2(45 + 3a) = [(√2/2)(cos(3a) - sin(3a))]^2 = (1/2)(cos(3a) - sin(3a))^2.
3. Теперь подставим это значение в тождество:
- 2cos^2(45 + 3a) = 2 * (1/2)(cos(3a) - sin(3a))^2 = (cos(3a) - sin(3a))^2.
4. Раскроем квадрат:
- (cos(3a) - sin(3a))^2 = cos^2(3a) - 2cos(3a)sin(3a) + sin^2(3a).
Используем тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:
- cos^2(3a) + sin^2(3a) = 1.
Таким образом:
- (cos(3a) - sin(3a))^2 = 1 - 2cos(3a)sin(3a).
5. Теперь найдем sin(6a):
- sin(6a) = 2sin(3a)cos(3a).
6. Подставим это значение в наше уравнение:
- 1 - 2cos(3a)sin(3a) + 2sin(3a)cos(3a) = 1.
Таким образом, мы подтвердили, что левая часть равна правой, и тождество верно.
Теперь найдем значение выражения cos(50) + sin(160) - cos(10).
1. Заменим sin(160) на cos(30), так как sin(90 - x) = cos(x):
- sin(160) = sin(180 - 20) = sin(20) = cos(90 - 20) = cos(70).
Таким образом, у нас есть:
- cos(50) + cos(70) - cos(10).
2. Используем формулу для суммы косинусов:
- cos(50) + cos(70) = 2cos((50 + 70)/2)cos((50 - 70)/2) = 2cos(60)cos(-10).
Так как cos(60) = 1/2, получаем:
- 2 * (1/2) * cos(10) = cos(10).
3. Подставим это значение в наше выражение:
- cos(10) - cos(10) = 0.
Таким образом, значение выражения cos(50) + sin(160) - cos(10) равно 0.
Ответ: Тождество подтверждено, значение выражения равно 0.
