Как можно преобразовать периодическую дробь 0,31(5) в обыкновенную дробь, применяя методы бесконечно убывающей геометрической прогрессии?

Алгебра 11 класс Преобразование периодических дробей в обыкновенные дроби периодическая дробь обыкновенная дробь Геометрическая прогрессия преобразование дробей алгебра 11 класс Новый

Чтобы преобразовать периодическую дробь 0,31(5) в обыкновенную дробь, мы можем использовать метод бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Определим дробь

Периодическая дробь 0,31(5) означает, что у нас есть целая часть 0,31, после которой следует период 5. Мы можем представить это как:

0,31(5) = 0,3155555... (где 5 повторяется бесконечно).

Шаг 2: Разделим дробь на две части

Мы можем разделить 0,31(5) на две части: 0,31 и 0,00(5).

Таким образом, мы можем записать:

0,31(5) = 0,31 + 0,00(5).

Шаг 3: Преобразуем 0,31 в обыкновенную дробь

0,31 можно легко преобразовать в дробь:

• 0,31 = 31/100.

Шаг 4: Преобразуем 0,00(5) в обыкновенную дробь

Теперь давайте рассмотрим 0,00(5). Обозначим его как x:

• x = 0,00(5).
• Умножим обе стороны на 10: 10x = 0,05(5).
• Теперь вычтем x из 10x: 10x - x = 0,05(5) - 0,00(5).
• Это дает 9x = 0,05.
• Теперь решим для x: x = 0,05 / 9 = 5/900 = 1/180.

Шаг 5: Сложим обе части

Теперь у нас есть обе части в виде дробей:

• 0,31 = 31/100,
• 0,00(5) = 1/180.

Теперь нужно сложить эти дроби:

31/100 + 1/180.

Шаг 6: Найдем общий знаменатель

Общий знаменатель для 100 и 180 равен 900. Теперь преобразуем дроби:

• 31/100 = (31 * 9)/(100 * 9) = 279/900,
• 1/180 = (1 * 5)/(180 * 5) = 5/900.

Шаг 7: Сложим дроби

Теперь складываем дроби:

279/900 + 5/900 = (279 + 5)/900 = 284/900.

Шаг 8: Упростим дробь

Теперь упрощаем дробь 284/900. Найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 284 и 900. НОД равен 4.

• 284 ÷ 4 = 71,
• 900 ÷ 4 = 225.

Таким образом, окончательная форма обыкновенной дроби будет:

0,31(5) = 71/225.

Теперь мы успешно преобразовали периодическую дробь 0,31(5) в обыкновенную дробь 71/225, используя методы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.