Как можно разложить на множители уравнение x^3 + 2x^2 + x - 4?

Алгебра 11 класс Разложение многочлена на множители разложение на множители уравнение x^3 + 2x^2 + x - 4 алгебра 11 класс методы разложения факторизация многочлена Новый

Чтобы разложить на множители уравнение x^3 + 2x^2 + x - 4, мы можем воспользоваться методом деления многочлена и теорией корней.

Шаг 1: Найдем возможные рациональные корни уравнения. Для этого воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни можно найти, взяв делители свободного члена (-4) и делители ведущего коэффициента (1). В нашем случае возможные корни:

• ±1
• ±2
• ±4

Шаг 2: Проверим возможные корни, подставляя их в уравнение. Начнем с корня 1:

x = 1:

1^3 + 2*1^2 + 1 - 4 = 1 + 2 + 1 - 4 = 0

Так как при x = 1 у нас получается 0, значит, x = 1 является корнем уравнения.

Шаг 3: Теперь мы можем разделить многочлен x^3 + 2x^2 + x - 4 на (x - 1) с помощью деления многочленов.

Делим:

1. Первый член: x^3 делим на x, получаем x^2.
2. Умножаем (x - 1) на x^2, получаем x^3 - x^2.
3. Вычитаем: (x^3 + 2x^2) - (x^3 - x^2) = 3x^2.
4. Спускаем следующий член: 3x^2 + x.
5. Делим 3x^2 на x, получаем 3x.
6. Умножаем (x - 1) на 3x, получаем 3x^2 - 3x.
7. Вычитаем: (3x^2 + x) - (3x^2 - 3x) = 4x.
8. Спускаем последний член: 4x - 4.
9. Делим 4x на x, получаем 4.
10. Умножаем (x - 1) на 4, получаем 4x - 4.
11. Вычитаем: (4x - 4) - (4x - 4) = 0.

Таким образом, мы получили частное:

x^2 + 3x + 4

Шаг 4: Теперь мы можем записать исходное уравнение в виде:

(x - 1)(x^2 + 3x + 4)

Шаг 5: Проверим, можно ли разложить x^2 + 3x + 4 на множители. Для этого найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * 4 = 9 - 16 = -7.

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение x^2 + 3x + 4 не имеет действительных корней и не может быть разложено на множители в области действительных чисел.

Таким образом, окончательный ответ:

x^3 + 2x^2 + x - 4 = (x - 1)(x^2 + 3x + 4)