Как можно решить уравнение: (n+1)! = (n+64)(n-1)!?

Алгебра 11 класс Уравнения с факториалами решение уравнения факториал алгебра 11 класс математические уравнения свойства факториала Новый

Для решения уравнения (n+1)! = (n+64)(n-1)! начнем с того, что разберем обе стороны уравнения.

Сначала вспомним, что такое факториал. Факториал числа n, обозначаемый n!, это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Например, (n+1)! = (n+1) * n!. Таким образом, мы можем переписать левую часть уравнения:

(n+1)! = (n+1) * n!

Теперь подставим это в уравнение:

(n+1) * n! = (n+64)(n-1)!

Следующим шагом мы можем выразить (n-1)! через n!:

(n-1)! = n! / n

Теперь подставим это выражение в правую часть уравнения:

(n+1) * n! = (n+64) * (n! / n)

Упростим правую часть:

(n+1) * n! = (n+64) * n! / n

Теперь мы можем сократить n! с обеих сторон уравнения (при условии, что n! не равно 0, что верно для n >= 1):

(n+1) = (n+64) / n

Умножим обе стороны на n, чтобы избавиться от дроби:

n(n+1) = n + 64

Раскроем скобки:

n^2 + n = n + 64

Теперь вычтем n из обеих сторон:

n^2 = 64

Теперь найдем n, взяв квадратный корень из обеих сторон:

n = ±8

Поскольку n должно быть неотрицательным (так как факториал определен только для неотрицательных целых чисел), принимаем только положительное значение:

n = 8

Таким образом, решение уравнения (n+1)! = (n+64)(n-1)! это n = 8.