Как можно решить задачу Коши для уравнения y^2dx = e^xdy с начальным условием y(0) = 1?

Алгебра 11 класс Дифференциальные уравнения первого порядка задача Коши уравнение y^2dx = e^xdy начальное условие y(0) = 1 решение уравнения алгебра 11 класс Новый

Для решения задачи Коши для уравнения y^2dx = e^xdy с начальным условием y(0) = 1, мы будем следовать нескольким шагам.

1. Перепишем уравнение в стандартной форме.

   Начнем с того, что у нас есть уравнение:

   y^2dx - e^xdy = 0

   Мы можем выразить dy через dx:

   y^2dx = e^xdy

   Следовательно,:

   dy/dx = y^2/e^x

2. Разделим переменные.

   Теперь мы можем разделить переменные:

   dy/y^2 = dx/e^x

3. Интегрируем обе стороны.

   Теперь интегрируем обе стороны:

   • Слева: ∫(1/y^2) dy = -1/y
   • Справа: ∫(1/e^x) dx = ∫e^(-x) dx = -e^(-x)

   Таким образом, после интегрирования мы получаем:

   -1/y = -e^(-x) + C

4. Перепишем уравнение и выразим y.

   Умножим обе стороны на -1:

   1/y = e^(-x) - C

   Теперь выразим y:

   y = 1/(e^(-x) - C)

5. Используем начальное условие.

   Теперь подставим начальное условие y(0) = 1:

   1 = 1/(e^0 - C)

   Это упрощается до:

   1 = 1/(1 - C)

   Перемножим обе стороны на (1 - C):

   1 - C = 1

   Отсюда:

   C = 0

6. Запишем окончательное решение.

   Теперь, подставив значение C в выражение для y, мы получаем:

   y = 1/(e^(-x)) = e^x

Таким образом, решение задачи Коши для данного уравнения с начальным условием y(0) = 1 будет:

y = e^x