Как решить уравнение первого порядка: y' = (5y - 7) * ln(x), если известно, что y(l) = 3?

Алгебра 11 класс Дифференциальные уравнения первого порядка уравнение первого порядка решение уравнения алгебра 11 класс y' = (5y - 7) * ln(x) начальные условия математический анализ Дифференциальные уравнения Новый

Чтобы решить уравнение первого порядка y' = (5y - 7) * ln(x), начнем с того, что это уравнение можно привести к стандартному виду, чтобы использовать метод разделения переменных.

Шаг 1: Разделим переменные.

• Перепишем уравнение так, чтобы все члены, содержащие y, были с одной стороны, а все члены, содержащие x, - с другой:
• y' = (5y - 7) * ln(x) можно записать как:
• dy/dx = (5y - 7) * ln(x).

Теперь мы можем разделить переменные:

• dy / (5y - 7) = ln(x) dx.

Шаг 2: Интегрируем обе стороны.

• Теперь интегрируем обе стороны:
• ∫ (1 / (5y - 7)) dy = ∫ ln(x) dx.

Для левой стороны используем замену переменной:

• ∫ (1 / (5y - 7)) dy = (1/5) * ln|5y - 7| + C1.

Для правой стороны интегрируем по частям:

• ∫ ln(x) dx = x * ln(x) - x + C2.

Теперь у нас есть:

• (1/5) * ln|5y - 7| = x * ln(x) - x + C.

Шаг 3: Найдем константу интегрирования C.

Теперь, используя начальное условие y(l) = 3, мы можем найти значение C. Подставим x = l и y = 3 в уравнение:

• (1/5) * ln|5*3 - 7| = l * ln(l) - l + C.
• (1/5) * ln|15 - 7| = l * ln(l) - l + C.
• (1/5) * ln(8) = l * ln(l) - l + C.

Теперь выразим C:

• C = (1/5) * ln(8) - l * ln(l) + l.

Шаг 4: Запишем общее решение.

Теперь подставим значение C обратно в общее решение:

• (1/5) * ln|5y - 7| = x * ln(x) - x + (1/5) * ln(8) - l * ln(l) + l.

Таким образом, мы получили общее решение уравнения с учетом начального условия. Если нужно, можно выразить y через x, но для этого потребуется решить уравнение относительно y, что может быть не всегда возможно аналитически.