Как можно составить уравнение эллипса, если расстояние между директрисами равно 16+2/3, а расстояние между фокусами составляет 6?

Алгебра 11 класс Уравнения конусовидных сечений уравнение эллипса расстояние между директрисами расстояние между фокусами алгебра 11 класс задачи по алгебре эллипс формула решение задач по эллипсу Новый

Для того чтобы составить уравнение эллипса, нам нужно использовать информацию о расстоянии между директрисами и фокусами. Давайте разберем шаги решения по порядку.

Шаг 1: Определим основные параметры эллипса.

• Расстояние между фокусами обозначается как 2c. В данном случае, если расстояние между фокусами равно 6, то:
• c = 6 / 2 = 3.
• Теперь найдем значение a (полуось, соответствующая большой оси). Расстояние между директрисами равно 16 + 2/3, что в виде неправильной дроби будет 50/3. Расстояние между директрисами для эллипса равно 2a / e, где e - эксцентриситет, который можно выразить как e = c / a.

Шаг 2: Найдем эксцентриситет и полуось a.

• Сначала выразим эксцентриситет:
• e = c / a = 3 / a.
• Теперь подставим это значение в формулу для расстояния между директрисами:
• 50/3 = 2a / (3/a).
• Упрощаем уравнение:
• 50/3 = 2a^2 / 3.
• Умножим обе стороны на 3:
• 50 = 2a^2.
• Теперь разделим на 2:
• a^2 = 25.
• a = 5.

Шаг 3: Найдем значение b.

• Теперь, зная a и c, мы можем найти b (полуось, соответствующая малой оси) с помощью формулы:
• b^2 = a^2 - c^2.
• b^2 = 25 - 9 = 16.
• b = 4.

Шаг 4: Составим уравнение эллипса.

Теперь у нас есть все необходимые параметры для составления уравнения эллипса. Уравнение эллипса с центром в начале координат имеет вид:

(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1.

Подставим найденные значения a и b:

(x^2 / 25) + (y^2 / 16) = 1.

Таким образом, уравнение эллипса, удовлетворяющего заданным условиям, будет:

(x^2 / 25) + (y^2 / 16) = 1.