Как можно составить уравнения касательных к графику функции y=-5x/x+1 в тех точках, где она пересекается с прямой, проходящей через координаты (1; 5) и (–1; –5)? Также требуется сделать чертеж.

Алгебра 11 класс Уравнения касательных к графику функции уравнения касательных график функции пересечение с прямой координаты точек чертеж функции алгебра 11 класс задачи на касательные Новый

Чтобы составить уравнения касательных к графику функции y = -5x / (x + 1) в тех точках, где она пересекается с прямой, проходящей через координаты (1; 5) и (–1; –5), нам нужно выполнить несколько шагов.

1. **Найти уравнение прямой, проходящей через заданные точки.**

• Сначала найдем угол наклона (k) этой прямой. Угол наклона можно найти по формуле:
• k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-5 - 5) / (-1 - 1) = -10 / -2 = 5.
• Теперь, зная угол наклона, можем использовать точку (1; 5) для нахождения уравнения прямой в виде y = kx + b.
• Подставим координаты точки (1; 5): 5 = 5 * 1 + b. Отсюда b = 0.
• Таким образом, уравнение прямой: y = 5x.

2. **Найти точки пересечения графика функции и прямой.**

• Для этого приравняем уравнения: -5x / (x + 1) = 5x.
• Умножим обе стороны на (x + 1) (при условии, что x + 1 не равно 0):
• -5x = 5x(x + 1).
• Раскроем скобки: -5x = 5x^2 + 5x.
• Переносим все в одну сторону: 5x^2 + 10x = 0.
• Вынесем общий множитель: 5x(x + 2) = 0.
• Таким образом, x = 0 или x = -2.

3. **Найдем соответствующие значения y для этих x.**

• Для x = 0: y = -5 * 0 / (0 + 1) = 0.
• Для x = -2: y = -5 * (-2) / (-2 + 1) = 10 / -1 = -10.

Таким образом, точки пересечения: (0; 0) и (-2; -10).

4. **Найдем производную функции для нахождения углов наклона касательных.**

• Используем правило частного для нахождения производной:
• y' = [(-5)(x + 1) - (-5x)(1)] / (x + 1)^2 = [-5x - 5 + 5x] / (x + 1)^2 = -5 / (x + 1)^2.

5. **Найдем углы наклона касательных в точках (0; 0) и (-2; -10).**

• Для x = 0: y'(0) = -5 / (0 + 1)^2 = -5.
• Для x = -2: y'(-2) = -5 / (-2 + 1)^2 = -5.

6. **Теперь можем составить уравнения касательных.**

• Уравнение касательной имеет вид: y - y0 = k(x - x0), где (x0, y0) - точка касания, k - угловой коэффициент.
• Для точки (0; 0): y - 0 = -5(x - 0) => y = -5x.
• Для точки (-2; -10): y - (-10) = -5(x - (-2)) => y + 10 = -5(x + 2) => y = -5x - 10 - 10 => y = -5x - 20.

Таким образом, уравнения касательных: y = -5x и y = -5x - 20.

7. **Рисунок графика функции и касательных.**

Для чертежа функции y = -5x / (x + 1) и касательных y = -5x и y = -5x - 20, вы можете использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков. Отметьте точки пересечения и проведите касательные в этих точках.