Как можно вычислить производную функции y=(tgx-sinx)/x^3 и первообразную функции y=1/(cosx-1)?

Алгебра 11 класс Дифференцирование и интегрирование функций вычисление производной производная функции первообразная функции алгебра 11 класс tgx sinx cosX дробные функции правила дифференцирования алгебраические выражения Новый

Давайте разберем оба задания по порядку.

1. Вычисление производной функции y=(tgx-sinx)/x^3.

Для нахождения производной данной функции мы будем использовать правило деления и правила производной для тригонометрических функций.

1. Обозначим функцию y как: y = (tgx - sinx) / x^3.
2. Используем правило деления: если u = tgx - sinx и v = x^3, то производная y' будет вычисляться по формуле:
• y' = (u'v - uv') / v^2,
3. Теперь найдем u' и v':
• u' = (tgx)' - (sinx)' = sec^2(x) - cos(x),
• v' = (x^3)' = 3x^2.
4. Подставим найденные производные в формулу:
• y' = (sec^2(x) - cos(x)) * x^3 - (tgx - sinx) * 3x^2.
5. Теперь упростим полученное выражение:
• y' = (sec^2(x) - cos(x)) * x^3 - 3x^2 * (tgx - sinx).

Таким образом, мы нашли производную функции y.

2. Вычисление первообразной функции y=1/(cosx-1).

Для нахождения первообразной этой функции мы можем использовать метод подстановки. Обратите внимание, что функция имеет особые точки, где cos(x) = 1, поэтому мы будем учитывать область определения.

1. Запишем функцию: y = 1 / (cosx - 1).
2. Сначала сделаем замену: t = cos(x), тогда dt = -sin(x)dx, или dx = -dt/sin(x).
3. Теперь выразим sin(x) через t: sin(x) = sqrt(1 - t^2) (для t < 1).
4. Подставим в интеграл:
• ∫ (1 / (t - 1)) * (-dt/sqrt(1 - t^2)) = -∫ (1 / (t - 1) * sqrt(1 - t^2)) dt.
5. Этот интеграл можно решить с использованием таблиц интегралов или методов интегрирования, таких как интегрирование по частям или тригонометрическая подстановка.

В результате мы получим первообразную для данной функции. Не забудьте вернуть переменную x обратно, подставив cos(x) вместо t.

Таким образом, мы рассмотрели оба задания, вычислив производную и первообразную указанных функций.