Как можно вычислить сумму корней уравнения (x+2)^2 -2|x+2|-3=0?

Я долго пытаюсь разобраться, но у меня не получается, помогите, пожалуйста.

Алгебра 11 класс Сумма корней уравнения сумма корней уравнение алгебра 11 класс решение уравнения вычисление корней Новый

Давайте решим уравнение (x+2)^2 - 2|x+2| - 3 = 0 и найдем сумму его корней. Для этого будем рассматривать два случая, поскольку у нас есть модуль.

Шаг 1: Определение случаев для модуля

Модуль |x+2| зависит от значения выражения x+2:

• Случай 1: x + 2 >= 0 (то есть x >= -2), тогда |x+2| = x + 2.
• Случай 2: x + 2 < 0 (то есть x < -2), тогда |x+2| = -(x + 2) = -x - 2.

Шаг 2: Решение первого случая (x >= -2)

Подставим |x+2| = x + 2 в уравнение:

(x + 2)^2 - 2(x + 2) - 3 = 0.

Раскроем скобки:

(x^2 + 4x + 4) - (2x + 4) - 3 = 0.

Соберем все в одну сторону:

x^2 + 4x + 4 - 2x - 4 - 3 = 0.

Упростим:

x^2 + 2x - 3 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

Корни уравнения:

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-2 + 4) / 2 = 1.

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-2 - 4) / 2 = -3.

Проверяем, удовлетворяют ли корни условию x >= -2:

• x1 = 1 (подходит).
• x2 = -3 (не подходит).

Таким образом, из первого случая у нас есть один корень: x = 1.

Шаг 3: Решение второго случая (x < -2)

Теперь подставим |x+2| = -x - 2 в уравнение:

(x + 2)^2 - 2(-x - 2) - 3 = 0.

Раскроем скобки:

(x^2 + 4x + 4) + (2x + 4) - 3 = 0.

Соберем все в одну сторону:

x^2 + 4x + 4 + 2x + 4 - 3 = 0.

Упростим:

x^2 + 6x + 5 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16.

Корни уравнения:

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-6 + 4) / 2 = -1.

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-6 - 4) / 2 = -5.

Проверяем, удовлетворяют ли корни условию x < -2:

• x1 = -1 (не подходит).
• x2 = -5 (подходит).

Таким образом, из второго случая у нас есть один корень: x = -5.

Шаг 4: Нахождение суммы корней

Теперь у нас есть два корня: x = 1 и x = -5. Найдем их сумму:

Сумма корней = 1 + (-5) = -4.

Ответ: Сумма корней уравнения (x + 2)^2 - 2|x + 2| - 3 = 0 равна -4.