Чтобы найти длину дуги кривой, заданной уравнением y = ln(cos x) на интервале 0 < x < π/4, мы будем использовать формулу для длины дуги функции y = f(x):

L = ∫(a to b) √(1 + (dy/dx)²) dx

Где L - длина дуги, a и b - границы интегрирования, dy/dx - производная функции y по x.

Теперь давайте пройдемся по шагам решения:

1. Найдем производную функции y:

y = ln(cos x)

Для нахождения производной используем правило производной логарифмической функции и правило производной косинуса:

dy/dx = (1/cos x) * (-sin x) = -tan x

2. Подставим производную в формулу для длины дуги:

Теперь подставим dy/dx в формулу:

1 + (dy/dx)² = 1 + (-tan x)² = 1 + tan² x = sec² x

3. Теперь вычислим корень:

√(1 + (dy/dx)²) = √(sec² x) = sec x

4. Запишем интеграл для длины дуги:

L = ∫(0 to π/4) sec x dx

5. Вычислим интеграл:

Интеграл sec x dx можно вычислить, используя известную формулу:

∫ sec x dx = ln |sec x + tan x| + C

Теперь подставим пределы интегрирования:

L = [ln |sec x + tan x|] (от 0 до π/4)

6. Подставим пределы:

При x = π/4:

sec(π/4) = √2, tan(π/4) = 1

Таким образом, ln |√2 + 1|

При x = 0:

sec(0) = 1, tan(0) = 0

Таким образом, ln |1 + 0| = ln 1 = 0

7. Вычислим длину дуги:

L = ln |√2 + 1| - 0 = ln(√2 + 1)

Ответ: Длина дуги кривой y = ln(cos x) на интервале 0 < x < π/4 равна ln(√2 + 1).