Чтобы найти корни уравнения p(λ) = -λ^3 + 14λ^2 - 43λ + 30, мы можем воспользоваться несколькими методами. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам решить это уравнение.

Мы имеем кубическое уравнение, так как его степень равна 3. Корни кубического уравнения могут быть найдены различными способами, включая факторизацию, использование теоремы Виета или численные методы.

Согласно теореме рациональных корней, возможные рациональные корни уравнения могут быть найдены среди делителей свободного члена (в данном случае 30) и делителей старшего коэффициента (в данном случае -1). Это означает, что возможные корни могут быть:

• ±1
• ±2
• ±3
• ±5
• ±6
• ±10
• ±15
• ±30

Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение p(λ) и проверить, при каком значении p(λ) будет равно 0.

• p(1) = -1^3 + 14*1^2 - 43*1 + 30 = -1 + 14 - 43 + 30 = 0 (1 — корень)
• p(2) = -2^3 + 14*2^2 - 43*2 + 30 = -8 + 56 - 86 + 30 = -8 (не корень)
• p(3) = -3^3 + 14*3^2 - 43*3 + 30 = -27 + 126 - 129 + 30 = 0 (3 — корень)
• p(5) = -5^3 + 14*5^2 - 43*5 + 30 = -125 + 350 - 215 + 30 = 40 (не корень)
• p(6) = -6^3 + 14*6^2 - 43*6 + 30 = -216 + 504 - 258 + 30 = 60 (не корень)
• p(10) = -10^3 + 14*10^2 - 43*10 + 30 = -1000 + 1400 - 430 + 30 = 0 (10 — корень)

Мы нашли три корня: λ1 = 1, λ2 = 3, λ3 = 10.

Теперь мы можем разложить данное уравнение на множители:

p(λ) = -(λ - 1)(λ - 3)(λ - 10)

Раскроем скобки, чтобы убедиться, что мы правильно разложили уравнение. Мы можем сделать это, перемножив множители:

1. Сначала перемножим (λ - 1)(λ - 3) = λ^2 - 4λ + 3
2. Затем перемножим результат с (λ - 10):
3. -(λ^2 - 4λ + 3)(λ - 10) = -[λ^3 - 10λ^2 - 4λ^2 + 40λ + 3λ - 30] = -λ^3 + 14λ^2 - 43λ + 30

Таким образом, мы подтвердили, что разложение верное.

Корни уравнения p(λ) = 0: λ1 = 1, λ2 = 3, λ3 = 10.