Как найти множество точек, изображающих комплексные числа, которые удовлетворяют следующим условиям:

1. |z - i| <= 1
2. |z + 1| < 1

Алгебра 11 класс Комплексные числа и их геометрическая интерпретация множество точек комплексные числа условия алгебра неравенства геометрия комплексных чисел модуль комплексного числа Новый

Чтобы найти множество точек, изображающих комплексные числа, которые удовлетворяют условию |z - i|, давайте разберем это выражение подробнее.

Комплексное число z можно представить в виде z = x + yi, где x и y - действительная и мнимая части соответственно. Теперь, когда мы рассматриваем |z - i|, мы можем переписать это выражение следующим образом:

1. Подстановка комплексного числа:

• z - i = (x + yi) - i = x + (y - 1)i.

2. Вычисление модуля:

• Теперь вычислим модуль этого комплексного числа:
• |z - i| = |x + (y - 1)i| = √(x^2 + (y - 1)^2).

3. Условие для модуля:

• Теперь мы можем задать условие для модуля. Например, если мы хотим найти множество точек, для которых |z - i| = r, где r - это некоторое положительное число, то у нас получится:
• √(x^2 + (y - 1)^2) = r.

4. Преобразование уравнения:

• Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
• x^2 + (y - 1)^2 = r^2.

5. Геометрическая интерпретация:

• Это уравнение описывает окружность с центром в точке (0, 1) и радиусом r.
• Таким образом, множество точек, удовлетворяющих условию |z - i| = r, будет представлять собой окружность в комплексной плоскости.

6. Если r не задано:

• Если же мы просто рассматриваем |z - i| без конкретного значения r, то это означает, что z может находиться на любом расстоянии от точки i в комплексной плоскости.
• В этом случае множество точек будет представлять собой всю плоскость, за исключением самой точки i, так как расстояние до этой точки может быть любым положительным.

Таким образом, мы пришли к выводу, что множество точек, изображающих комплексные числа z, которые удовлетворяют условию |z - i|, представляет собой окружность с центром в точке (0, 1) и радиусом r, если r задано, или всю комплексную плоскость без точки i, если r не задано.