Как отобрать корни на числовой окружности?

Алгебра 11 класс Комплексные числа и их геометрическая интерпретация корни числовая окружность алгебра 11 класс комплексные числа уравнения Тригонометрия геометрия математический анализ свойства корней Новый

Чтобы отобрать корни на числовой окружности, давайте разберем процесс решения уравнения шаг за шагом.

Во-первых, если у нас есть дробь, необходимо привести её к общему знаменателю. В нашем случае это будет произведение cos^2(x) * sin^2(x). После приведения дроби к общему знаменателю, мы получаем:

(sin^2(x) - 4cos^2(x) + 6cos^2(x)*sin^2(x)) / (cos^2(x)*sin^2(x)) = 0

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, при этом знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому мы сначала решаем уравнение:

sin^2(x) - 4cos^2(x) + 6cos^2(x)*sin^2(x) = 0

Теперь можем немного упростить это уравнение. Объединим его так:

• (sin^2(x) - cos^2(x)) + (6cos^2(x)*sin^2(x) - 3cos^2(x)) = 0

Это можно переписать как:

• -(cos^2(x) - sin^2(x)) + 3cos^2(x)*(2sin^2(x) - 1) = 0

Теперь выделим общий множитель:

-cos(2x) - 3cos^2(x)*cos(2x) = 0

Мы можем вынести cos(2x) за скобки:

cos(2x)*(1 + 3cos^2(x)) = 0

Теперь у нас есть два случая для рассмотрения:

1. Первый случай: cos(2x) = 0.
2. Второй случай: 1 + 3cos^2(x) = 0.

Решая первый случай, мы получаем:

2x = π/2 + πk, отсюда:

x = π/4 + πk/2.

Во втором случае, поскольку cos^2(x) не может быть отрицательным, 1 + 3cos^2(x) = 0 не имеет решений, так как cos^2(x) = -1/3 невозможно.

Теперь, чтобы отобрать корни, принадлежашие промежутку x ∈ (-7π/2; -2π), нам нужно подставить различные значения k в наше решение x = π/4 + πk/2.

Таким образом, мы можем найти все такие x, которые удовлетворяют нашему промежутку. Это даст нам необходимые корни на числовой окружности.