Чтобы найти первообразную F для функции f(x) = 1/sin²(3x - π/6),мы начнем с нахождения неопределенного интеграла этой функции. Прежде всего, давайте рассмотрим, как можно упростить интеграл.

1. Начнем с преобразования функции:

• f(x) = 1/sin²(3x - π/6) можно записать как f(x) = csc²(3x - π/6).

2. Теперь вспомним, что производная функции cot(x) равна -csc²(x). Это значит, что интеграл csc²(x) равен -cot(x) + C, где C — произвольная константа.

3. Используя это свойство, мы можем найти интеграл функции f(x):

• ∫f(x) dx = ∫csc²(3x - π/6) dx.

4. Для интегрирования мы используем замену переменной:

• Пусть u = 3x - π/6, тогда du = 3dx, и dx = du/3.

5. Подставим это в интеграл:

• ∫csc²(u) * (du/3) = (1/3) ∫csc²(u) du.

6. Теперь мы можем интегрировать:

• (1/3) ∫csc²(u) du = (1/3)(-cot(u)) + C = -(1/3)cot(3x - π/6) + C.

Таким образом, первообразная F для функции f(x) равна:

• F(x) = -(1/3)cot(3x - π/6) + C.

Теперь нам нужно определить константу C, используя условие, что F(π/6) = 8/9√3.

7. Подставим x = π/6 в F(x):

• F(π/6) = -(1/3)cot(3(π/6) - π/6) + C = -(1/3)cot(π/2) + C.
• Так как cot(π/2) = 0, получаем: F(π/6) = 0 + C = C.

8. Теперь приравняем C к 8/9√3:

• C = 8/9√3.

9. Таким образом, окончательная форма первообразной F будет:

• F(x) = -(1/3)cot(3x - π/6) + 8/9√3.

Итак, мы нашли первообразную F для функции f(x).