1. Определение общего вида первообразной для функции f(x) = 1/x² - 2cos(x):

1. Рассмотрим функцию f(x) = 1/x² - 2cos(x). Нам нужно найти первообразную F(x),такую, что F'(x) = f(x).
2. Начнем с первого слагаемого 1/x². Это можно переписать как x^(-2). Известно, что первообразная x^n равна (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1. Для x^(-2) получаем первообразную: -1/x + C₁.
3. Теперь рассмотрим второе слагаемое -2cos(x). Известно, что первообразная cos(x) равна sin(x). Поэтому первообразная -2cos(x) будет равна -2sin(x) + C₂.
4. Объединяем результаты: F(x) = -1/x - 2sin(x) + C, где C — произвольная постоянная.

2. Определение общего вида первообразной для функции f(x) = 4sin(x)cos(x):

1. Функция f(x) = 4sin(x)cos(x) напоминает тригонометрическую тождественность. Используем формулу двойного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
2. Перепишем функцию как 2 * 2sin(x)cos(x) = 2sin(2x).
3. Теперь ищем первообразную для 2sin(2x). Известно, что первообразная sin(ax) равна -1/a * cos(ax). Применим это к 2sin(2x):
4. Первообразная будет равна -1/2 * cos(2x) * 2 = -cos(2x) + C, где C — произвольная постоянная.

3. Вычисление первообразной для функции f(x) = 6/cos²(3x) + 1, проходящей через точку M(π/4; π/4):

1. Рассмотрим функцию f(x) = 6/cos²(3x) + 1. Это можно переписать как 6sec²(3x) + 1, где sec(x) = 1/cos(x).
2. Известно, что первообразная sec²(ax) равна 1/a * tan(ax). Применим это к 6sec²(3x):
3. Первообразная будет равна 6 * (1/3) * tan(3x) = 2tan(3x).
4. Для второго слагаемого 1 первообразная равна x.
5. Объединяем результаты: F(x) = 2tan(3x) + x + C.
6. Теперь используем условие прохождения через точку M(π/4; π/4). Подставим x = π/4 и F(x) = π/4 в уравнение первообразной:
7. π/4 = 2tan(3π/4) + π/4 + C. Известно, что tan(3π/4) = -1, поэтому уравнение становится: π/4 = 2(-1) + π/4 + C.
8. Решаем уравнение: π/4 = -2 + π/4 + C. Упростим его: C = π/4 + 2 - π/4 = 2.
9. Таким образом, окончательный вид первообразной: F(x) = 2tan(3x) + x + 2.