Спасибо за поздравление! Давайте разберем, как найти первообразные для данных функций шаг за шагом.

1. Найдем первообразную для функции f(x) = 2 - 1 / (cos(x))^2.

Первое, что мы заметим, это то, что функция состоит из двух частей: константы и дроби. Мы можем разделить задачу на две части:

• Часть 1: Найдем первообразную для константы 2.
• Часть 2: Найдем первообразную для -1 / (cos(x))^2.

Часть 1:

Первообразная константы 2 равна 2x, так как производная 2x по x равна 2.

Часть 2:

Для второй части используем известное тригонометрическое тождество: 1 / (cos(x))^2 = sec^2(x). Поэтому мы можем переписать нашу функцию:

f(x) = 2 - sec^2(x).

Теперь найдем первообразную для sec^2(x). Известно, что производная tan(x) равна sec^2(x). Следовательно, первообразная sec^2(x) равна tan(x).

Теперь можем объединить результаты:

Первообразная f(x) = 2x - tan(x) + C, где C - произвольная константа.

2. Найдем первообразную для функции f(x) = (5x - 4)^3.

Для нахождения первообразной этой функции воспользуемся методом замены переменной. Обозначим:

u = 5x - 4.

Тогда производная u по x равна:

du/dx = 5, или du = 5dx, что означает, что dx = du/5.

Теперь подставим u в нашу функцию:

f(x) = u^3.

Следовательно, первообразная f(x) будет:

∫u^3 du/5 = (1/5) * (1/4) * u^4 + C = (1/20) * (5x - 4)^4 + C.

Теперь мы можем записать окончательный ответ:

Первообразная f(x) = (1/20) * (5x - 4)^4 + C.

Итак, мы нашли первообразные для обеих функций:

• f(x) = 2 - 1 / (cos(x))^2: Первообразная F(x) = 2x - tan(x) + C.
• f(x) = (5x - 4)^3: Первообразная F(x) = (1/20) * (5x - 4)^4 + C.