Как найти площадь треугольника, который построен на векторах а=i-2j+5k и b=5j-7k?

Алгебра 11 класс Векторы и их операции площадь треугольника векторы алгебра векторное произведение формула площади Новый

Чтобы найти площадь треугольника, построенного на векторах a и b, мы можем воспользоваться формулой, которая связывает площадь треугольника с векторным произведением. Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения этих двух векторов.

Давайте рассмотрим векторы:

• a = i - 2j + 5k
• b = 0i + 5j - 7k

Шаги решения:

1. Найдите векторное произведение векторов a и b. Векторное произведение двух векторов в трехмерном пространстве можно найти с помощью детерминанта:

Векторное произведение a × b равно детерминанту следующей матрицы:

• | i j k |
• | 1 -2 5 |
• | 0 5 -7 |

Теперь вычислим этот детерминант:

1. Раскроем по первому ряду:
2. i * | -2 5 |
3. j * | 1 5 |
4. k * | 1 -2 |

Теперь найдем каждый из этих детерминантов:

• Для i: (-2) * (-7) - (5) * (5) = 14 - 25 = -11
• Для j: (1) * (-7) - (5) * (0) = -7 - 0 = -7
• Для k: (1) * (5) - (-2) * (0) = 5 - 0 = 5

Теперь подставим найденные значения обратно:

a × b = -11i + 7j + 5k

Шаг 2: Найдите длину векторного произведения.

Длина вектора a × b вычисляется по формуле:

|a × b| = sqrt((-11)^2 + (7)^2 + (5)^2)

Теперь вычислим:

• (-11)^2 = 121
• (7)^2 = 49
• (5)^2 = 25

Сложим их:

121 + 49 + 25 = 195

Теперь найдем корень:

|a × b| = sqrt(195)

Шаг 3: Найдите площадь треугольника.

Площадь треугольника S равна половине длины векторного произведения:

S = 1/2 * |a × b| = 1/2 * sqrt(195)

Таким образом, площадь треугольника, построенного на векторах a и b, равна 1/2 * sqrt(195).