Как найти решения для следующих интегралов: 1) S (1)/(1+3x^2)*dx 2) S (x^2)/(√(1-x^6))dx 3) S lnx/x dx 4) S (e^x)/(1-e^x) dx 5) S (dx)/(x^2-2x-3) 6) S (3x+1)/(x^2+2x+17)?

Алгебра 11 класс Интегралы неопределенные интегралы алгебра 11 класс решения интегралов математические задачи интегрирование методы интегрирования примеры интегралов Новый

Давайте разберем каждый из предложенных интегралов по порядку. Я подробно объясню шаги решения для каждого из них.

1) Интеграл S (1)/(1+3x^2) dx

Для решения этого интеграла мы можем использовать подстановку. Заметим, что 1 + 3x^2 можно привести к форме, которая напоминает производную тангенса. Сделаем подстановку:

1. Пусть u = sqrt(3) * x, тогда du = sqrt(3) dx, и dx = du/sqrt(3).
2. Интеграл становится S (1)/(1 + u^2) * (du/sqrt(3)) = (1/sqrt(3)) * S (1)/(1 + u^2) du.
3. Интеграл S (1)/(1 + u^2) равен arctan(u), поэтому получаем: (1/sqrt(3)) * arctan(u) + C.
4. Подставляем обратно u: (1/sqrt(3)) * arctan(sqrt(3)x) + C.

2) Интеграл S (x^2)/(√(1-x^6)) dx

Для этого интеграла также можно использовать подстановку. Заметим, что 1 - x^6 можно заменить:

1. Пусть u = 1 - x^6, тогда du = -6x^5 dx, и dx = -du/(6x^5).
2. Теперь, чтобы выразить x^2 через u, мы можем использовать x^6 = 1 - u, откуда x^2 = (1 - u)^(1/3).
3. Интеграл становится S -((1-u)^(1/3))/(√u) * (-du/(6x^5)).
4. Это может быть сложным, поэтому лучше использовать численные методы или специальные функции для окончательного решения.

3) Интеграл S ln(x)/x dx

Этот интеграл можно решить методом интегрирования по частям:

1. Выбираем u = ln(x), тогда du = (1/x) dx.
2. Выбираем dv = (1/x) dx, тогда v = x.
3. Теперь применяем формулу интегрирования по частям: S u dv = uv - S v du.
4. Получаем: S ln(x)/x dx = ln(x) * x - S x * (1/x) dx = ln(x) * x - S dx = ln(x) * x - x + C.

4) Интеграл S (e^x)/(1-e^x) dx

Для этого интеграла используем подстановку:

1. Пусть u = 1 - e^x, тогда du = -e^x dx, и dx = -du/e^x.
2. Интеграл становится S -1/u du = -ln|u| + C = -ln|1 - e^x| + C.

5) Интеграл S (dx)/(x^2-2x-3)

Сначала разложим знаменатель:

1. Факторизуем x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1).
2. Используем метод разложения на простые дроби: 1/(x^2 - 2x - 3) = A/(x - 3) + B/(x + 1).
3. Решаем уравнение для A и B, получаем A = 1/4 и B = -1/4.
4. Интеграл становится S (1/4)/(x - 3) - (1/4)/(x + 1) dx = (1/4) ln|x - 3| - (1/4) ln|x + 1| + C.

6) Интеграл S (3x+1)/(x^2+2x+17) dx

Для этого интеграла нам нужно использовать метод разложения:

1. Сначала заметим, что x^2 + 2x + 17 = (x + 1)^2 + 16.
2. Теперь делим интеграл на две части: S (3x)/(x^2 + 2x + 17) dx + S (1)/(x^2 + 2x + 17) dx.
3. Первый интеграл можно решить с помощью подстановки, а второй с помощью тригонометрической подстановки.
4. Результат будет: (3/2) ln|x^2 + 2x + 17| + (1/4) arctan((x + 1)/4) + C.

Таким образом, мы рассмотрели каждый интеграл и нашли их решения. Если у вас есть вопросы по конкретным шагам, не стесняйтесь спрашивать!