Давайте разберем каждое из выражений по порядку.

135 градусов находится во втором квадранте. Мы знаем, что косинус во втором квадранте отрицательный. Чтобы найти значение косинуса, можно воспользоваться следующим соотношением:

• cos(180° - x) = -cos(x)

В нашем случае x = 45°. Значит:

• cos(135°) = -cos(45°)

Косинус 45° равен √2/2. Таким образом:

• cos(135°) = -√2/2.

Чтобы найти значение синуса, сначала упростим угол 8π/3. Мы можем вычесть 2π (или 6π/3) из 8π/3:

• 8π/3 - 6π/3 = 2π/3.

Теперь найдем sin(2π/3). Угол 2π/3 также находится во втором квадранте, где синус положителен:

• sin(2π/3) = sin(π - π/3) = sin(π/3).

Синус π/3 равен √3/2, следовательно:

• sin(8π/3) = √3/2.

Сначала упростим угол 7π/3. Мы можем вычесть 2π (или 6π/3):

• 7π/3 - 6π/3 = π/3.

Теперь найдем tg(π/3):

• tg(π/3) = sin(π/3) / cos(π/3) = (√3/2) / (1/2) = √3.

Таким образом,:

• tg(7π/3) = √3.

Сначала найдем значения cos(π/8) и sin(2π/8). Обратите внимание, что 2π/8 = π/4:

• cos^2(π/8) - sin^2(π/4).

Синус π/4 равен √2/2, следовательно, sin^2(π/4) = (√2/2)^2 = 2/4 = 1/2.

Теперь найдем cos^2(π/8). Для этого можно использовать формулу:

• cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2.

Подставим x = π/8:

• cos^2(π/8) = (1 + cos(π/4)) / 2 = (1 + √2/2) / 2.

Теперь подставим это значение в выражение:

• cos^2(π/8) - sin^2(π/4) = (1 + √2/2) / 2 - 1/2.

Упрощаем:

• =(1 + √2/2 - 1) / 2 = √2/2 / 2 = √2/4.

Таким образом, результаты выражений:

• cos(135°) = -√2/2,
• sin(8π/3) = √3/2,
• tg(7π/3) = √3,
• cos^2(π/8) - sin^2(2π/8) = √2/4.