Давайте поочередно решим оба выражения.

1. Выражение: Log _{2} 16 + Log _{1/3} 9

Сначала разберем первое слагаемое: Log _{2} 16.

• Мы знаем, что 16 можно представить как 2 в степени 4, то есть 16 = 2^4.
• По определению логарифма, Log _{a} b = c, если a^c = b. В нашем случае: Log _{2} (2^4) = 4.

Таким образом, Log _{2} 16 = 4.

Теперь перейдем ко второму слагаемому: Log _{1/3} 9.

• Здесь 9 можно представить как 3 в степени 2, то есть 9 = 3^2.
• Используя ту же формулу логарифма, мы можем записать: Log _{1/3} (3^2).
• Так как основание логарифма 1/3, мы можем использовать свойство логарифмов: Log _{a} (b^c) = c * Log _{a} b.
• Значит, Log _{1/3} (3^2) = 2 * Log _{1/3} 3.
• Теперь найдем Log _{1/3} 3. Это значение равно -1, так как (1/3)^(-1) = 3.

Таким образом, Log _{1/3} 9 = 2 * (-1) = -2.

Теперь мы можем сложить оба значения:

Log _{2} 16 + Log _{1/3} 9 = 4 - 2 = 2.

Итак, значение первого выражения равно 2.

2. Выражение: 5^{Log _{5}10 - 1}

Здесь мы сначала упростим выражение в степени:

• Мы знаем, что Log _{5} 10 - 1 можно переписать как Log _{5} 10 - Log _{5} 5, так как Log _{5} 5 = 1.
• Теперь применим свойство логарифмов: Log _{a} b - Log _{a} c = Log _{a} (b/c).
• Таким образом, Log _{5} 10 - Log _{5} 5 = Log _{5} (10/5) = Log _{5} 2.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

5^{Log _{5} 10 - 1} = 5^{Log _{5} 2}.

По определению логарифма, 5^{Log _{5} 2} = 2.

Таким образом, значение второго выражения равно 2.

В итоге, оба выражения дают одинаковый результат: 2.