Определение максимального и минимального значения функции на заданном отрезке — это задача, которая требует анализа поведения функции на этом отрезке. Рассмотрим функцию y = 2sin(x) + sin(2x) на отрезке [0; 3π/2]. Для этого выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции. Производная функции нужна для нахождения критических точек, где функция может иметь экстремумы (максимумы или минимумы).
   • Функция y = 2sin(x) + sin(2x) состоит из двух слагаемых. Производная первого слагаемого 2sin(x) равна 2cos(x).
   • Производная второго слагаемого sin(2x) равна 2cos(2x) (по правилу производной сложной функции).
   • Таким образом, производная функции y' = 2cos(x) + 2cos(2x).
2. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:
   • 2cos(x) + 2cos(2x) = 0
   • Упростим уравнение: cos(x) + cos(2x) = 0
   • Используем тригонометрическое тождество: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1
   • Подставим в уравнение: cos(x) + 2cos^2(x) - 1 = 0
   • Решим квадратное уравнение относительно cos(x): 2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0
   • Решаем это квадратное уравнение по формуле: cos(x) = (-1 ± √(1 + 8))/4
   • Получаем корни: cos(x) = 1/2 и cos(x) = -1
3. Найдем значения x, соответствующие найденным значениям cos(x).
   • cos(x) = 1/2: x = π/3, 5π/3. Однако 5π/3 не входит в отрезок [0; 3π/2], поэтому его не рассматриваем.
   • cos(x) = -1: x = π
4. Проверим значения функции в критических точках и на концах отрезка.
   • x = 0: y = 2sin(0) + sin(0) = 0
   • x = π/3: y = 2sin(π/3) + sin(2π/3) = 2(√3/2) + (√3/2) = 3√3/2
   • x = π: y = 2sin(π) + sin(2π) = 0
   • x = 3π/2: y = 2sin(3π/2) + sin(3π) = -2 + 0 = -2
5. Сравним полученные значения.
   • Минимальное значение функции: -2 при x = 3π/2
   • Максимальное значение функции: 3√3/2 при x = π/3

Таким образом, на отрезке [0; 3π/2] функция y = 2sin(x) + sin(2x) принимает минимальное значение -2 и максимальное значение 3√3/2.