Чтобы определить промежутки монотонности функции F(x) = x^2 + 4x, необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем искать производную функции и определять, где она положительна или отрицательна.

1. Найдем производную функции F(x).

   Производная функции F(x) = x^2 + 4x вычисляется по правилам дифференцирования:

   • Производная от x^2 равна 2x.
   • Производная от 4x равна 4.

   Таким образом, производная F'(x) будет равна:

   F'(x) = 2x + 4.

2. Найдем критические точки.

   Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. В нашем случае:

   2x + 4 = 0.

   Решим это уравнение:

   • 2x = -4;
   • x = -2.

   Итак, у нас есть одна критическая точка: x = -2.

3. Определим знаки производной на интервалах.

   Теперь разделим числовую ось на интервалы с учетом критической точки:

   • Интервал 1: (-∞, -2)
   • Интервал 2: (-2, +∞)

   Теперь проверим знак производной на каждом из этих интервалов.

   • Для интервала (-∞, -2) возьмем, например, x = -3:

   F'(-3) = 2(-3) + 4 = -6 + 4 = -2 (отрицательно).

   • Для интервала (-2, +∞) возьмем, например, x = 0:

   F'(0) = 2(0) + 4 = 0 + 4 = 4 (положительно).

4. Сделаем вывод о монотонности.

   Итак, мы имеем:

   • На интервале (-∞, -2) функция F(x) убывает, так как производная отрицательна.
   • На интервале (-2, +∞) функция F(x) возрастает, так как производная положительна.

Таким образом, промежутки монотонности функции F(x) = x^2 + 4x:

• Убывание на интервале (-∞, -2).
• Возрастание на интервале (-2, +∞).