Как определить точки перегиба для функций f(x) = x^5 - 80x^2 и f(x) = cos(x) на интервале от -π до π?

Алгебра 11 класс Исследование функций и их графиков определение точек перегиба функции f(x) x^5 - 80x^2 cos(x) интервал от -π до π алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить точки перегиба для функций, необходимо найти вторую производную и выяснить, где она меняет знак. Давайте рассмотрим каждую из функций по отдельности.

1. Функция f(x) = x^5 - 80x^2

Шаги для нахождения точек перегиба:

1. Найти первую производную:

f'(x) = 5x^4 - 160x.

2. Найти вторую производную:

f''(x) = 20x^3 - 160.

3. Приравнять вторую производную к нулю:

20x^3 - 160 = 0.

Решим это уравнение:

• 20x^3 = 160
• x^3 = 8
• x = 2.
4. Проверить знак второй производной:

Теперь нужно проверить знак f''(x) на интервалах, которые мы получаем от точки x = 2:

• Для x < 2 (например, x = 0): f''(0) = 20*0^3 - 160 = -160 (отрицательная)
• Для x > 2 (например, x = 3): f''(3) = 20*3^3 - 160 = 540 (положительная)

Таким образом, f''(x) меняет знак в точке x = 2, что означает, что в этой точке есть точка перегиба.

2. Функция f(x) = cos(x)

Шаги для нахождения точек перегиба:

1. Найти первую производную:

f'(x) = -sin(x).

2. Найти вторую производную:

f''(x) = -cos(x).

3. Приравнять вторую производную к нулю:

-cos(x) = 0.

Это уравнение выполняется, когда cos(x) = 0.

На интервале от -π до π это происходит в точках:

• x = -π/2
• x = π/2.
4. Проверить знак второй производной:

Теперь проверим знак f''(x) на интервалах:

• Для x < -π/2 (например, x = -π): f''(-π) = -cos(-π) = 1 (положительная)
• Для -π/2 < x < π/2 (например, x = 0): f''(0) = -cos(0) = -1 (отрицательная)
• Для x > π/2 (например, x = π): f''(π) = -cos(π) = 1 (положительная)

Таким образом, f''(x) меняет знак в точках x = -π/2 и x = π/2, что означает, что в этих точках есть точки перегиба.

Итак, итог:

Для функции f(x) = x^5 - 80x^2 точка перегиба находится в x = 2.

Для функции f(x) = cos(x) точки перегиба находятся в x = -π/2 и x = π/2.