Для того чтобы определить все натуральные n, для которых выражение n² + 2n + 30 равно произведению двух последовательных натуральных чисел, начнем с обозначения этих последовательных чисел. Пусть они равны k и k + 1, где k – это натуральное число. Тогда мы можем записать уравнение:

n² + 2n + 30 = k(k + 1)

Теперь преобразуем правую часть уравнения:

k(k + 1) = k² + k

Таким образом, наше уравнение принимает вид:

n² + 2n + 30 = k² + k

Теперь мы можем привести все к одной стороне:

n² + 2n + 30 - k² - k = 0

Это квадратное уравнение относительно n. Теперь, чтобы найти n, воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:

n = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = 2
• c = 30 - k² - k

Теперь подставим значения в формулу:

n = (-2 ± √(2² - 4 * 1 * (30 - k² - k))) / (2 * 1)

Упростим подкоренное выражение:

n = (-2 ± √(4 - 4 * (30 - k² - k))) / 2

n = (-2 ± √(4k² + 4k - 116)) / 2

n = -1 ± √(k² + k - 29)

Теперь, чтобы n было натуральным числом, выражение под корнем должно быть неотрицательным:

k² + k - 29 ≥ 0

Решим это неравенство. Найдем корни квадратного уравнения:

k = (-1 ± √(1 + 4 * 29)) / 2 = (-1 ± √117) / 2

Приблизительно √117 ≈ 10.82, значит:

k = (-1 + 10.82) / 2 ≈ 4.91 и k = (-1 - 10.82) / 2 (не рассматриваем, так как k должно быть натуральным)

Таким образом, k может принимать значения 5 и больше. Проверим значения k = 5, 6, 7 и так далее:

1. Для k = 5: k² + k - 29 = 25 + 5 - 29 = 1, n = -1 + 1 = 0 (не натуральное)
2. Для k = 6: k² + k - 29 = 36 + 6 - 29 = 13, n = -1 + √13 (не натуральное)
3. Для k = 7: k² + k - 29 = 49 + 7 - 29 = 27, n = -1 + √27 (не натуральное)
4. Для k = 8: k² + k - 29 = 64 + 8 - 29 = 43, n = -1 + √43 (не натуральное)
5. Для k = 9: k² + k - 29 = 81 + 9 - 29 = 61, n = -1 + √61 (не натуральное)
6. Для k = 10: k² + k - 29 = 100 + 10 - 29 = 81, n = -1 + √81 = 8 (натуральное)
7. Для k = 11: k² + k - 29 = 121 + 11 - 29 = 103, n = -1 + √103 (не натуральное)

Таким образом, единственное натуральное n, для которого заданное выражение равно произведению двух последовательных натуральных чисел, это n = 8.