Как построить график функции, которая соответствует следующим условиям:

1. lim 𝑓(𝑥) = 3
2. lim 𝑓(𝑥) = +∞ при x→2
3. lim 𝑓(𝑥) = −5 при x→−∞
4. lim 𝑓(𝑥) = +∞ при x→∞

Алгебра 11 класс Пределы функции график функции пределы функции алгебра математический анализ построение графика Новый

Для построения графика функции, соответствующей заданным условиям пределов, давайте разберем каждое из условий и поймем, как они влияют на форму графика.

• lim f(x) = 3: Это означает, что функция имеет горизонтальную асимптоту на уровне y = 3. То есть, когда x стремится к бесконечности (как положительной, так и отрицательной), значение функции будет приближаться к 3.
• lim f(x) = +∞ при x→2: Это говорит о том, что в точке x = 2 функция имеет вертикальную асимптоту. При приближении x к 2, значение функции стремится к бесконечности. Это может происходить, например, если у нас есть дробно-рациональная функция, где в числителе есть выражение, которое обращается в ноль при x = 2.
• lim f(x) = −5 при x→−∞: Это означает, что когда x стремится к минус бесконечности, значение функции будет приближаться к -5. Это также указывает на горизонтальную асимптоту на уровне y = -5.
• lim f(x) = +∞ при x→∞: Это указывает на то, что при стремлении x к бесконечности функция будет расти без ограничений, то есть ее значение будет стремиться к бесконечности.

Теперь, чтобы построить график функции, мы можем использовать, к примеру, дробно-рациональную функцию, которая будет удовлетворять всем этим условиям. Рассмотрим функцию:

f(x) = (x - 2)² + 3

Теперь проанализируем, как эта функция соответствует нашим условиям:

• При x → 2, f(x) стремится к +∞, так как (x - 2)² стремится к 0.
• При x → -∞, (x - 2)² + 3 стремится к +∞, но мы можем изменить функцию так, чтобы она подходила под условие lim f(x) = -5 при x→-∞. Например, можно взять f(x) = -0.5(x + 5)² + 3.
• При x → ∞, f(x) также будет стремиться к +∞.
• Горизонтальные асимптоты на уровнях y = 3 и y = -5 также можно учесть, изменяя коэффициенты.

Таким образом, мы можем построить функцию, которая будет выглядеть следующим образом:

f(x) = (x - 2)² + 3 с добавлением корректировок для соблюдения всех пределов. Например, можно использовать:

f(x) = (x - 2)² / (x² + 1) + 3 для более сложного поведения при бесконечностях.

Теперь, чтобы построить график:

1. Нарисуйте оси координат.
2. Отметьте горизонтальные асимптоты y = 3 и y = -5.
3. Отметьте вертикальную асимптоту при x = 2.
4. Нарисуйте график функции, учитывая все условия пределов.

Таким образом, вы получите график функции, который соответствует всем заданным условиям. Не забудьте проверить поведение функции в разных областях, чтобы убедиться, что она соответствует всем условиям пределов.