Как решить методом интервалов неравенство: (x-5)/(x+6) > 0?

Как сократить дробь: (3a² - 5a - 2)/(a² - 4)?

Как решить систему уравнений: {x + y = 8, x² + y² = 80}?

Как найти значение c, при котором график функции y = x² + 6x + 17 + c имеет одну общую точку с осью OX, и как построить график этой функции?

Алгебра 11 класс Неравенства и системы уравнений метод интервалов неравенство решение неравенств сокращение дробей система уравнений график функции общая точка с осью OX алгебра 11 класс Новый

Давайте разберем каждую задачу по порядку.

1. Решение неравенства (x-5)/(x+6) > 0 методом интервалов:

Чтобы решить это неравенство, следуем следующим шагам:

1. Находим нули числителя и знаменателя:
• Числитель: x - 5 = 0 → x = 5.
• Знаменатель: x + 6 = 0 → x = -6.
2. Определяем критические точки: x = -6 и x = 5. Эти точки делят числовую прямую на интервалы.
3. Выбираем тестовые точки в каждом интервале:
• Интервал (-∞, -6): тестовая точка x = -7. Подставляем: (-7-5)/(-7+6) = (-12)/(-1) > 0.
• Интервал (-6, 5): тестовая точка x = 0. Подставляем: (0-5)/(0+6) = (-5)/(6) < 0.
• Интервал (5, ∞): тестовая точка x = 6. Подставляем: (6-5)/(6+6) = (1)/(12) > 0.
4. Составляем ответ: неравенство выполняется на интервалах (-∞, -6) и (5, ∞). Таким образом, ответ: x ∈ (-∞, -6) ∪ (5, ∞).

2. Сокращение дроби (3a² - 5a - 2)/(a² - 4):

Для сокращения дроби нужно найти общий множитель в числителе и знаменателе:

1. Факторизуем числитель 3a² - 5a - 2. Для этого ищем такие числа, произведение которых равно 3 * (-2) = -6, а сумма равна -5. Это числа -6 и 1.
2. Записываем: 3a² - 6a + a - 2 = 3a(a - 2) + 1(a - 2) = (3a + 1)(a - 2).
3. Факторизуем знаменатель a² - 4, который является разностью квадратов: a² - 4 = (a - 2)(a + 2).
4. Теперь записываем дробь: (3a + 1)(a - 2)/((a - 2)(a + 2)). Сокращаем (a - 2), если a ≠ 2.
5. Итоговая дробь: (3a + 1)/(a + 2), при условии a ≠ 2.

3. Решение системы уравнений {x + y = 8, x² + y² = 80}:

Для решения этой системы уравнений используем подстановку:

1. Из первого уравнения выразим y: y = 8 - x.
2. Подставим y во второе уравнение: x² + (8 - x)² = 80.
3. Раскроем скобки: x² + (64 - 16x + x²) = 80.
4. Соберем все в одно уравнение: 2x² - 16x + 64 - 80 = 0 → 2x² - 16x - 16 = 0.
5. Упрощаем: x² - 8x - 8 = 0. Используем дискриминант: D = (-8)² - 4*1*(-8) = 64 + 32 = 96.
6. Находим корни: x = (8 ± √96)/2 = 4 ± 2√6.
7. Теперь находим y: y = 8 - x, следовательно, y = 4 ∓ 2√6.
8. Таким образом, у нас два решения: (4 + 2√6, 4 - 2√6) и (4 - 2√6, 4 + 2√6).

4. Нахождение значения c, при котором график функции y = x² + 6x + 17 + c имеет одну общую точку с осью OX:

Для нахождения такого значения c, нам нужно, чтобы дискриминант уравнения был равен нулю:

1. Записываем уравнение: x² + 6x + (17 + c) = 0.
2. Вычисляем дискриминант: D = b² - 4ac = 6² - 4*1*(17 + c) = 36 - 68 - 4c = -32 - 4c.
3. Для одного решения: D = 0 → -32 - 4c = 0 → 4c = -32 → c = -8.

Теперь построим график функции y = x² + 6x + 9, так как при c = -8, у нас получится: y = (x + 3)², который является параболой с вершиной в точке (-3, 0) и касается оси OX в этой точке.

Таким образом, мы рассмотрели все задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!