Как решить неравенство: x ^ 2 * 9 ^ x - 9 ^ (1 + x) >= 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с переменными в показателе решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с переменной x ^ 2 * 9 ^ x 9 ^ (1 + x) математические неравенства Новый

Для решения неравенства x^2 * 9^x - 9^(1 + x) >= 0 начнем с упрощения. Заметим, что 9^x можно выразить через 3: 9 = 3^2, следовательно, 9^x = (3^2)^x = 3^(2x). Подставим это в неравенство:

x^2 * 3^(2x) - 3^(2x + 2) >= 0

Теперь вынесем 3^(2x) за скобки:

3^(2x) * (x^2 - 9) >= 0

Теперь мы видим, что неравенство будет выполняться, если произведение 3^(2x) и (x^2 - 9) больше или равно нулю. Поскольку 3^(2x) всегда положительно для любых значений x, то достаточно решить неравенство:

x^2 - 9 >= 0

Это неравенство можно переписать в виде:

(x - 3)(x + 3) >= 0

Теперь найдем корни этого неравенства:

• x - 3 = 0 дает x = 3
• x + 3 = 0 дает x = -3

Теперь определим интервалы, в которых будет выполняться неравенство. Мы рассматриваем три интервала:

• x < -3
• -3 <= x <= 3
• x > 3

Теперь проверим знак произведения (x - 3)(x + 3) на каждом из этих интервалов:

1. Для x < -3: выбираем, например, x = -4. Тогда (-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 > 0.
2. Для -3 <= x <= 3: выбираем, например, x = 0. Тогда (0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0.
3. Для x > 3: выбираем, например, x = 4. Тогда (4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 > 0.

Теперь мы можем записать решение неравенства:

Решение:

• x <= -3
• x >= 3

Таким образом, окончательное решение неравенства:

x ∈ (-∞, -3] ∪ [3, +∞)