Как решить неравенство X в степени Log X по основанию 2 (меньше или равно) 16?

Алгебра 11 класс Неравенства с переменными в показателе решение неравенства алгебра 11 класс логарифмы неравенства с логарифмами X в степени Log X основы алгебры математические неравенства решение логарифмических неравенств Новый

Для решения неравенства X в степени Log X по основанию 2 (меньше или равно) 16, начнем с его записи:

X^(log2(X)) ≤ 16

Теперь разберем это неравенство шаг за шагом:

1. Перепишем 16 в удобной форме:

   Мы знаем, что 16 = 2^4. Это поможет нам сравнить обе стороны неравенства. Теперь неравенство можно записать так:

   X^(log2(X)) ≤ 2^4

2. Применим логарифм:

   Чтобы избавиться от степени, применим логарифм по основанию 2 к обеим сторонам неравенства:

   log2(X^(log2(X))) ≤ log2(2^4)

   Согласно свойству логарифмов, log(a^b) = b * log(a), мы можем упростить левую часть:

   log2(X) * log2(X) ≤ 4

   Или:

   (log2(X))^2 ≤ 4

3. Решим квадратное неравенство:

   Теперь нам нужно решить неравенство (log2(X))^2 ≤ 4. Это неравенство говорит о том, что логарифм X должен находиться в пределах от -2 до 2:

   -2 ≤ log2(X) ≤ 2

4. Переведем логарифмическое неравенство в экспоненциальную форму:
   • Для левой части: log2(X) ≥ -2 означает, что X ≥ 2^(-2) = 1/4.
   • Для правой части: log2(X) ≤ 2 означает, что X ≤ 2^2 = 4.
5. Соберем все вместе:

   Теперь мы можем объединить оба условия:

   1/4 ≤ X ≤ 4

Таким образом, решение неравенства X^(log2(X)) ≤ 16 - это интервал: [1/4, 4].