Для решения неравенства x в кубе минус 3x в квадрате минус 70x больше или равно нулю, начнем с записи неравенства в более удобной форме:

x³ - 3x² - 70x ≥ 0

Теперь мы можем вынести общий множитель из левой части неравенства:

x(x² - 3x - 70) ≥ 0

Теперь мы видим, что у нас есть произведение двух множителей: x и (x² - 3x - 70). Чтобы решить неравенство, нам нужно найти корни уравнения x² - 3x - 70 = 0. Это можно сделать с помощью дискриминанта.

Дискриминант D уравнения равен:

D = b² - 4ac

где a = 1, b = -3, c = -70.

Подставим значения:

D = (-3)² - 4 * 1 * (-70) = 9 + 280 = 289

Теперь находим корни уравнения:

x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

x₁,₂ = (3 ± √289) / 2

√289 = 17

Таким образом, корни:

x₁ = (3 + 17) / 2 = 10

x₂ = (3 - 17) / 2 = -7

Теперь у нас есть три критических точки, которые разделяют числовую прямую на интервалы:

• x = -7
• x = 0
• x = 10

Теперь мы проверим знаки произведения x(x² - 3x - 70) на интервалах:

1. Интервал (-∞, -7):

Выберем точку, например, x = -8:

-8 * ((-8)² - 3 * (-8) - 70) = -8 * (64 + 24 - 70) = -8 * 18 < 0

2. Интервал (-7, 0):

Выберем точку, например, x = -1:

-1 * ((-1)² - 3 * (-1) - 70) = -1 * (1 + 3 - 70) = -1 * (-66) > 0

3. Интервал (0, 10):

Выберем точку, например, x = 5:

5 * (5² - 3 * 5 - 70) = 5 * (25 - 15 - 70) = 5 * (-60) < 0

4. Интервал (10, +∞):

Выберем точку, например, x = 11:

11 * (11² - 3 * 11 - 70) = 11 * (121 - 33 - 70) = 11 * 18 > 0

Теперь мы можем подвести итоги:

• На интервале (-∞, -7) знак отрицательный.
• На интервале (-7, 0) знак положительный.
• На интервале (0, 10) знак отрицательный.
• На интервале (10, +∞) знак положительный.

Неравенство x(x² - 3x - 70) ≥ 0 выполняется на интервалах:

• x ∈ [-7, 0]
• x ∈ [10, +∞)

Таким образом, окончательный ответ:

x ∈ [-7, 0] ∪ [10, +∞)