Для решения уравнения √(5x + 1) - √(13 - 3x) = 2 мы будем следовать нескольким шагам:

1. Переносим один из корней на другую сторону уравнения:

   Добавим √(13 - 3x) к обеим сторонам:

   √(5x + 1) = √(13 - 3x) + 2

2. Возводим обе стороны в квадрат:

   Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

   (√(5x + 1))² = (√(13 - 3x) + 2)²

   Это дает нам:

   5x + 1 = (13 - 3x) + 4√(13 - 3x) + 4

3. Упрощаем уравнение:

   Соберем все члены на одной стороне:

   5x + 1 = 17 - 3x + 4√(13 - 3x)

   Переносим все, что связано с x, на одну сторону:

   5x + 3x + 1 - 17 = 4√(13 - 3x)

   8x - 16 = 4√(13 - 3x)

4. Делим обе стороны на 4:

   Упростим уравнение:

   2x - 4 = √(13 - 3x)

5. Снова возводим обе стороны в квадрат:

   (2x - 4)² = (√(13 - 3x))²

   Это дает:

   4x² - 16x + 16 = 13 - 3x

6. Переносим все члены на одну сторону:

   4x² - 16x + 3x + 16 - 13 = 0

   4x² - 13x + 3 = 0

7. Решаем квадратное уравнение:

   Используем формулу для решения квадратного уравнения:

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

   где a = 4, b = -13, c = 3:

   Дискриминант D = b² - 4ac = (-13)² - 4 * 4 * 3 = 169 - 48 = 121

   Теперь подставим в формулу:

   x = (13 ± √121) / 8

   √121 = 11, поэтому:

   x1 = (13 + 11) / 8 = 24 / 8 = 3

   x2 = (13 - 11) / 8 = 2 / 8 = 1/4

8. Проверяем корни:

   Подставим x = 3:

   √(5*3 + 1) - √(13 - 3*3) = √(15 + 1) - √(13 - 9) = √16 - √4 = 4 - 2 = 2 (верно)

   Теперь подставим x = 1/4:

   √(5*(1/4) + 1) - √(13 - 3*(1/4)) = √(5/4 + 1) - √(13 - 3/4) = √(9/4) - √(49/4) = 3/2 - 7/2 = -2 (неверно)

Таким образом, единственным решением уравнения является x = 3.