Как упростить выражение (3/(x-4))+((4x-6)/(x^2-3x-4))+2x/(x+1)?

Алгебра 11 класс Упрощение рациональных выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс дроби рациональные выражения математические операции математическая помощь решение задач алгебраические выражения упрощение дробей x-4 4x-6 x^2-3x-4 2x/(x+1) Новый

Чтобы упростить выражение (3/(x-4)) + ((4x-6)/(x^2-3x-4)) + (2x/(x+1)), мы начнем с анализа каждого из слагаемых.

• Первое слагаемое: 3/(x-4). Оно уже в простейшей форме.
• Второе слагаемое: (4x-6)/(x^2-3x-4). Нам нужно упростить знаменатель.

Знаменатель x^2-3x-4 можно разложить на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения:

x^2 - 3x - 4 = 0. Используем формулу дискримината:

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25.

Теперь находим корни:

x1 = (3 + √25)/2 = 4,
x2 = (3 - √25)/2 = -1.

Таким образом, мы можем разложить знаменатель:

x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1).

Теперь подставим это в выражение:

(4x - 6)/((x - 4)(x + 1)).

Теперь у нас есть выражение:

(3/(x-4)) + ((4x-6)/((x-4)(x+1))) + (2x/(x+1)).

Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель будет (x-4)(x+1).

• Для первого слагаемого: 3/(x-4) умножаем на (x+1)/(x+1), получаем (3(x+1))/((x-4)(x+1)).
• Для второго слагаемого: оно уже имеет общий знаменатель - ((4x-6)/((x-4)(x+1))).
• Для третьего слагаемого: 2x/(x+1) умножаем на (x-4)/(x-4), получаем (2x(x-4))/((x-4)(x+1)).

Теперь все слагаемые имеют общий знаменатель, и мы можем объединить их в одно выражение:

(3(x+1) + (4x-6) + 2x(x-4))/((x-4)(x+1)).

Теперь упростим числитель:

1. Раскроем скобки: 3x + 3 + 4x - 6 + 2x^2 - 8x.
2. Объединим подобные слагаемые: 2x^2 + (3x + 4x - 8x) + (3 - 6) = 2x^2 - x - 3.

Таким образом, мы получили:

(2x^2 - x - 3)/((x-4)(x+1)).

Теперь мы можем попробовать факторизовать числитель 2x^2 - x - 3. Мы ищем такие числа, которые в произведении дают -6 (2*-3) и в сумме -1. Это -3 и 2.

Факторизуем:

2x^2 - x - 3 = 2(x - 1.5)(x + 1).

Заменяем числитель в нашем выражении:

2(x - 1.5)(x + 1)/((x - 4)(x + 1)).

Теперь мы можем сократить (x + 1) в числителе и знаменателе, если x не равен -1:

Получаем окончательное упрощенное выражение:

2(x - 1.5)/(x - 4).

Или, если выразить через 2, будет:

(2x - 3)/(x - 4).

Таким образом, мы упростили данное выражение.