Какие свойства и графики имеют следующие функции: 1) f(x)=3x⁴-7x³+2x²+7, 2) f(x)=sin(x), 3) f(x)=cos(5-3x)?

Алгебра 11 класс Анализ функций и их графиков свойства функций графики функций алгебра 11 класс f(x)=3x⁴-7x³+2x²+7 f(x)=sin(x) f(x)=cos(5-3x) Новый

Давайте рассмотрим каждую из указанных функций, определим их свойства и графики.

1) f(x) = 3x⁴ - 7x³ + 2x² + 7

Это многочлен четвёртой степени. Рассмотрим его основные свойства:

• Степень и ведущий коэффициент: Степень многочлена равна 4, ведущий коэффициент равен 3 (положительный).
• Поведение на бесконечности: При x стремящемся к +∞ и -∞, функция будет стремиться к +∞, так как ведущий член (3x⁴) положителен.
• Наличие экстремумов: Чтобы найти экстремумы, нужно вычислить первую производную и приравнять её к нулю. Первая производная будет f'(x) = 12x³ - 21x² + 4x. Найдите корни этой производной, чтобы определить точки максимумов и минимумов.
• График: График функции будет иметь форму, характерную для четных многочленов, с минимумами и максимумами, определяемыми корнями производной.

2) f(x) = sin(x)

Функция синуса - это периодическая функция. Рассмотрим её свойства:

• Периодичность: Период функции равен 2π. Это значит, что f(x + 2π) = f(x) для любого x.
• Амплитуда: Амплитуда функции равна 1, то есть значения функции колеблются от -1 до 1.
• Нули функции: Нули функции находятся в точках x = nπ, где n - целое число.
• График: График функции представляет собой волнообразную линию, колеблющуюся между -1 и 1, с периодом 2π.

3) f(x) = cos(5 - 3x)

Это также периодическая функция, но с некоторыми изменениями. Рассмотрим её свойства:

• Периодичность: Период функции равен 2π/3. Это связано с коэффициентом -3 перед x в аргументе косинуса (период cos(kx) равен 2π/|k|).
• Амплитуда: Амплитуда функции равна 1, как и у синуса.
• Сдвиг: Функция имеет горизонтальный сдвиг, так как аргумент косинуса равен (5 - 3x). Это означает, что график будет сдвинут вправо.
• Нули функции: Нули функции можно найти, решив уравнение cos(5 - 3x) = 0, что приводит к x = (5 - (π/2 + nπ))/3, где n - целое число.
• График: График функции будет представлять собой волнообразную линию с периодом 2π/3, колеблющуюся между -1 и 1, с горизонтальным сдвигом.

Таким образом, каждая из этих функций имеет свои уникальные свойства и графики, которые мы можем анализировать и строить на основе их математических характеристик.