Какое количество целых значений p существует, чтобы хотя бы одно из следующих квадратных уравнений имело действительные решения: (p + 3)x2 - (20 + 1)x + 2p + 8 = 0 и x2 – 6x + p2 = 0?

Алгебра 11 класс Системы неравенств и квадратные уравнения алгебра 11 класс Квадратные уравнения целые значения p действительные решения математические задачи Новый

Для того чтобы выяснить, какое количество целых значений p существует, чтобы хотя бы одно из данных квадратных уравнений имело действительные решения, нам нужно проанализировать дискриминанты этих уравнений.

Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант неотрицателен (больше или равен нулю).

Рассмотрим первое уравнение:

(p + 3)x² - (20 + 1)x + (2p + 8) = 0

Дискриминант D1 этого уравнения равен:

D1 = b² - 4ac, где a = (p + 3), b = -(20 + 1), c = (2p + 8).

Подставим значения:

• a = p + 3
• b = -21
• c = 2p + 8

Теперь вычислим дискриминант:

D1 = (-21)² - 4(p + 3)(2p + 8).

D1 = 441 - 4(p + 3)(2p + 8).

Теперь раскроем скобки:

(p + 3)(2p + 8) = 2p² + 8p + 6p + 24 = 2p² + 14p + 24.

Тогда:

D1 = 441 - 4(2p² + 14p + 24).

D1 = 441 - 8p² - 56p - 96.

D1 = -8p² - 56p + 345.

Теперь найдем условия, при которых D1 ≥ 0:

-8p² - 56p + 345 ≥ 0.

Умножим неравенство на -1 (не забываем поменять знак неравенства):

8p² + 56p - 345 ≤ 0.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

D = 56² - 4 * 8 * (-345) = 3136 + 11040 = 14176.

Корни уравнения:

p1,2 = (-56 ± √14176) / (2 * 8).

Теперь вычислим √14176:

√14176 = 119.

Подставляем это значение:

p1,2 = (-56 ± 119) / 16.

Корни:

• p1 = (63) / 16 = 3.9375
• p2 = (-175) / 16 = -10.9375

Таким образом, неравенство 8p² + 56p - 345 ≤ 0 выполняется на отрезке:

-10.9375 ≤ p ≤ 3.9375.

Теперь найдем целые значения p на этом отрезке:

Целые числа: -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Итак, целые значения p от -10 до 3 включительно.

Посчитаем количество целых значений:

• -10
• -9
• -8
• -7
• -6
• -5
• -4
• -3
• -2
• -1
• 0
• 1
• 2
• 3

Всего 14 целых значений p.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

x² - 6x + p² = 0

Дискриминант D2 этого уравнения равен:

D2 = b² - 4ac, где a = 1, b = -6, c = p².

D2 = (-6)² - 4(1)(p²) = 36 - 4p².

Для того чтобы это уравнение имело действительные корни, D2 ≥ 0:

36 - 4p² ≥ 0.

Перепишем неравенство:

4p² ≤ 36.

p² ≤ 9.

−3 ≤ p ≤ 3.

Целые значения p в этом диапазоне:

• -3
• -2
• -1
• 0
• 1
• 2
• 3

Всего 7 целых значений p.

Теперь объединим результаты:

Первое уравнение дало 14 целых значений, а второе - 7 целых значений.

Но нам нужно учитывать только уникальные значения, которые подходят для хотя бы одного из уравнений.

Объединим оба множества:

Уникальные значения: -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Итак, общее количество целых значений p, для которых хотя бы одно из уравнений имеет действительные корни, равно 14.

Ответ: 14.