Какое множество значений имеет функция y=(sinx+cosx) ^2?

Алгебра 11 класс Исследование свойств тригонометрических функций Множество значений функции y=(sinx+cosx)^2 алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить множество значений функции y = (sin x + cos x) ^ 2, начнем с анализа выражения внутри скобок: sin x + cos x.

1. Найдем максимальное и минимальное значения выражения sin x + cos x.

2. Для этого воспользуемся известным тригонометрическим приемом. Мы можем преобразовать выражение sin x + cos x в более удобный вид:

• sin x + cos x = √2 * (sin x * (1/√2) + cos x * (1/√2)).
• Теперь мы можем представить это как: √2 * sin(x + π/4), так как 1/√2 соответствует углу 45 градусов.

3. Поскольку функция sin принимает значения от -1 до 1, то:

• максимальное значение sin(x + π/4) = 1,
• минимальное значение sin(x + π/4) = -1.

4. Теперь подставим эти значения в выражение sin x + cos x:

• максимум: sin x + cos x = √2 * 1 = √2,
• минимум: sin x + cos x = √2 * (-1) = -√2.

5. Таким образом, мы установили, что sin x + cos x принимает значения в диапазоне от -√2 до √2.

6. Теперь вернемся к нашей функции y = (sin x + cos x) ^ 2. Поскольку мы возводим выражение в квадрат, то все отрицательные значения станут положительными:

• Минимальное значение: (-√2) ^ 2 = 2,
• Максимальное значение: (√2) ^ 2 = 2.

7. Однако, так как y = (sin x + cos x) ^ 2, y будет принимать значения от 0 до 2, так как:

• 0 — это значение, когда sin x + cos x = 0,
• 2 — это значение, когда sin x + cos x = ±√2.

Таким образом, множество значений функции y = (sin x + cos x) ^ 2 будет равно интервалу:

[0; 2]