Чтобы решить неравенство 2 · 4^x > 6^x + 3 · 9^x, начнем с преобразования его в более удобный вид.

Сначала заметим, что 9^x можно записать как (3^2)^x = (3^x)^2, а 6^x можно записать как 2^x * 3^x. Также 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2. Это позволит нам выразить все слагаемые через 2^x и 3^x.

Запишем неравенство в следующем виде:

• 2 · (2^x)^2 > 2^x * 3^x + 3 · (3^x)^2

Теперь введем обозначения:

• a = 2^x
• b = 3^x

Тогда неравенство можно переписать так:

• 2a^2 > ab + 3b^2

Теперь перенесем все в одну часть:

• 2a^2 - ab - 3b^2 > 0

Это квадратное неравенство относительно a. Чтобы решить его, найдем дискриминант:

• D = (-b)^2 - 4ac = (-b)^2 - 4 * 2 * (-3b^2) = b^2 + 24b^2 = 25b^2

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

• a1 = (b + √(25b^2)) / (2 * 2) = (b + 5b) / 4 = 6b / 4 = 3b / 2
• a2 = (b - 5b) / 4 = -4b / 4 = -b

Поскольку a = 2^x и a всегда положительно, нас интересует только корень a1 = 3b / 2. Теперь определим, при каких значениях a > 3b / 2:

2^x > 3/2 * 3^x.

Разделим обе части на 3^x:

• (2/3)^x > 3/2.

Теперь применим логарифм:

• x * log(2/3) > log(3/2).

Поскольку log(2/3) < 0, при делении на него неравенство поменяет знак:

• x < log(3/2) / log(2/3).

Теперь вычислим это значение. Приблизительно:

• log(3/2) ≈ 0.1761
• log(2/3) ≈ -0.1761

Таким образом:

• x < -1.

Наибольшее целое значение x, которое удовлетворяет этому неравенству, равно -1.

Ответ: Наибольшее целое значение x = -1.