Какое трехзначное число в семиричной системе, если записать его цифры в обратном порядке, будет представлять то же самое число в девятиричной системе счисления?

Алгебра 11 класс Системы счисления трёхзначное число семиричная система девятиричная система обратный порядок цифр алгебра 11 класс Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим трехзначное число в семиричной системе как abc, где a, b и c - это цифры этого числа. В семиричной системе цифры могут принимать значения от 0 до 6, а a не может быть равной 0, так как это трехзначное число.

Теперь, если мы запишем это число в обратном порядке, то оно станет cba. По условию задачи, это число cba в девятиричной системе должно быть равно числу abc в семиричной системе.

Теперь давайте запишем оба числа в десятичной системе:

• Число abc в семиричной системе: 7^2 * a + 7^1 * b + 7^0 * c = 49a + 7b + c.
• Число cba в девятиричной системе: 9^2 * c + 9^1 * b + 9^0 * a = 81c + 9b + a.

Теперь у нас есть уравнение:

49a + 7b + c = 81c + 9b + a

Давайте упростим это уравнение:

• Переносим все члены в одну сторону:
49a - a + 7b - 9b + c - 81c = 0
• Упрощаем:
48a - 2b - 80c = 0
• Делим все на 2:
24a - b - 40c = 0

Теперь можем выразить b через a и c:

b = 24a - 40c

Теперь нужно, чтобы b была цифрой в семиричной системе, то есть 0 <= b < 7. Также помним, что a может быть от 1 до 6, а c - от 0 до 6.

Теперь рассмотрим возможные значения a и c:

• Если a = 1:
  • При c = 0: b = 24*1 - 40*0 = 24 (не подходит)
  • При c = 1: b = 24*1 - 40*1 = -16 (не подходит)
  • При c = 2: b = 24*1 - 40*2 = -56 (не подходит)
  • При c = 3: b = 24*1 - 40*3 = -96 (не подходит)
  • При c = 4: b = 24*1 - 40*4 = -136 (не подходит)
  • При c = 5: b = 24*1 - 40*5 = -176 (не подходит)
  • При c = 6: b = 24*1 - 40*6 = -216 (не подходит)
• Если a = 2:
  • При c = 0: b = 24*2 - 40*0 = 48 (не подходит)
  • При c = 1: b = 24*2 - 40*1 = 8 (не подходит)
  • При c = 2: b = 24*2 - 40*2 = -32 (не подходит)
  • При c = 3: b = 24*2 - 40*3 = -72 (не подходит)
  • При c = 4: b = 24*2 - 40*4 = -112 (не подходит)
  • При c = 5: b = 24*2 - 40*5 = -152 (не подходит)
  • При c = 6: b = 24*2 - 40*6 = -192 (не подходит)
• Если a = 3:
  • При c = 0: b = 24*3 - 40*0 = 72 (не подходит)
  • При c = 1: b = 24*3 - 40*1 = 32 (не подходит)
  • При c = 2: b = 24*3 - 40*2 = -8 (не подходит)
  • При c = 3: b = 24*3 - 40*3 = -48 (не подходит)
  • При c = 4: b = 24*3 - 40*4 = -88 (не подходит)
  • При c = 5: b = 24*3 - 40*5 = -128 (не подходит)
  • При c = 6: b = 24*3 - 40*6 = -168 (не подходит)
• Если a = 4:
  • При c = 0: b = 24*4 - 40*0 = 96 (не подходит)
  • При c = 1: b = 24*4 - 40*1 = 56 (не подходит)
  • При c = 2: b = 24*4 - 40*2 = 16 (не подходит)
  • При c = 3: b = 24*4 - 40*3 = -24 (не подходит)
  • При c = 4: b = 24*4 - 40*4 = -64 (не подходит)
  • При c = 5: b = 24*4 - 40*5 = -104 (не подходит)
  • При c = 6: b = 24*4 - 40*6 = -144 (не подходит)
• Если a = 5:
  • При c = 0: b = 24*5 - 40*0 = 120 (не подходит)
  • При c = 1: b = 24*5 - 40*1 = 80 (не подходит)
  • При c = 2: b = 24*5 - 40*2 = 40 (не подходит)
  • При c = 3: b = 24*5 - 40*3 = 0 (подходит)
  • При c = 4: b = 24*5 - 40*4 = -40 (не подходит)
  • При c = 5: b = 24*5 - 40*5 = -80 (не подходит)
  • При c = 6: b = 24*5 - 40*6 = -120 (не подходит)
• Если a = 6:
  • При c = 0: b = 24*6 - 40*0 = 144 (не подходит)
  • При c = 1: b = 24*6 - 40*1 = 104 (не подходит)
  • При c = 2: b = 24*6 - 40*2 = 64 (не подходит)
  • При c = 3: b = 24*6 - 40*3 = 24 (не подходит)
  • При c = 4: b = 24*6 - 40*4 = -16 (не подходит)
  • При c = 5: b = 24*6 - 40*5 = -56 (не подходит)
  • При c = 6: b = 24*6 - 40*6 = -96 (не подходит)

Таким образом, единственная подходящая комбинация - это a = 5, b = 0, c = 3.

Теперь проверим, соответствует ли это условию задачи:

• Число в семиричной системе: 503.
• Записываем в обратном порядке: 305.
• Проверяем, является ли 305 числом в девятиричной системе:
3 * 9^2 + 0 * 9^1 + 5 * 9^0 = 3 * 81 + 0 + 5 = 243 + 5 = 248.

Таким образом, число 503 в семиричной системе, записанное в обратном порядке, будет 305 в девятиричной системе. Это число подходит под условия задачи.

Ответ: 503 в семиричной системе.