В 11 классе по алгебре одно из заданий на построение может заключаться в графическом изображении функций и анализе их свойств. Например, давайте рассмотрим задание на построение графика квадратной функции.

Постройте график функции f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c — заданные коэффициенты. Например, пусть a = 1, b = -2, c = -3.

1. Определите параметры функции: В нашем случае a = 1, b = -2, c = -3.
2. Найдите координаты вершины параболы: Вершина параболы находится по формуле x = -b/(2a). Подставим наши значения:
   • x = -(-2)/(2*1) = 2/2 = 1.

   Теперь найдем значение функции в этой точке: f(1) = 1^2 - 2*1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1, -4).

3. Найдите корни функции: Чтобы найти корни, решим уравнение ax^2 + bx + c = 0. В нашем случае это:
   • 1x^2 - 2x - 3 = 0.

   Используем дискриминант D = b^2 - 4ac. Подставим значения: D = (-2)^2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16. Так как D > 0, у нас два различных корня:

   • x1 = (2 + sqrt(16))/2 = (2 + 4)/2 = 3;
   • x2 = (2 - sqrt(16))/2 = (2 - 4)/2 = -1.
4. Постройте график: Нанесите на координатную плоскость точки: вершину (1, -4) и корни (3, 0) и (-1, 0). Затем соедините эти точки, учитывая, что график функции будет параболой, открытой вверх (так как a > 0).
5. Анализируйте график: Обратите внимание на симметрию графика относительно вертикальной оси, проходящей через вершину, и на поведение функции при x → ±∞.

Таким образом, вы получите график функции f(x) = x^2 - 2x - 3, который будет выглядеть как парабола, открытая вверх, с вершиной в точке (1, -4) и пересечениями с осью x в точках (-1, 0) и (3, 0).

Это задание поможет вам лучше понять свойства квадратных функций и научиться строить их графики.