Какое значение имеет выражение: (2 + 5) + (2² + 5²) + (2³ + 5³) + (2⁴ + 5⁴) и как его можно вычислить рационально, не подставляя числа напрямую?

Алгебра 11 класс Суммы степеней значение выражения алгебра 11 класс вычисление выражения рациональное вычисление алгебраические выражения сумма степеней методы вычисления математические методы Новый

Чтобы вычислить значение выражения (2 + 5) + (2² + 5²) + (2³ + 5³) + (2⁴ + 5⁴), давайте сначала упростим его, выделив общее.

Мы можем заметить, что в каждом слагаемом выражения мы имеем сумму степеней двух чисел: 2 и 5. Таким образом, мы можем переписать выражение следующим образом:

• (2 + 5) + (2² + 5²) + (2³ + 5³) + (2⁴ + 5⁴) = Σ(2^n + 5^n) для n от 1 до 4.

Теперь давайте разложим каждую часть по отдельности:

• 2 + 5 = 7
• 2² + 5² = 4 + 25 = 29
• 2³ + 5³ = 8 + 125 = 133
• 2⁴ + 5⁴ = 16 + 625 = 641

Теперь сложим все эти значения:

• 7 + 29 = 36
• 36 + 133 = 169
• 169 + 641 = 810

Таким образом, значение всего выражения (2 + 5) + (2² + 5²) + (2³ + 5³) + (2⁴ + 5⁴) равно 810.

Если мы хотим вычислить это выражение более рационально, мы можем использовать формулу для суммы степеней:

Сумма n-тых степеней двух чисел a и b может быть выражена с помощью формулы:

Σ(a^k + b^k) = (a^(n+1) - b^(n+1)) / (a - b)

В нашем случае a = 2, b = 5 и n = 4. Подставив значения, мы можем вычислить:

• Σ(2^k + 5^k) = (2^5 - 5^5) / (2 - 5)
• 2^5 = 32, 5^5 = 3125
• 32 - 3125 = -3093
• Теперь делим на (2 - 5) = -3: -3093 / -3 = 1031

Однако, здесь мы видим, что использование этой формулы приводит к неверному результату, так как мы не учли начальные значения. Поэтому проще и надежнее в данном случае просто сложить все значения.

В конечном итоге, ответом на наш вопрос является значение 810.