Для решения выражения 2arctg(1/4) + arctg(7/23) нам нужно использовать свойства арктангенса и формулы для суммы углов. Давайте разберем шаги подробно.

1. Обозначим углы: Пусть α = arctg(1/4) и β = arctg(7/23). Тогда наше выражение можно переписать как 2α + β.
2. Используем формулу для двойного угла: Для выражения 2α мы можем использовать формулу:
   • tg(2α) = 2tg(α) / (1 - tg²(α)),
   где tg(α) = 1/4. Подставим это значение в формулу:
   • tg(2α) = 2 * (1/4) / (1 - (1/4)²) = 2/4 / (1 - 1/16) = 1/2 / (15/16) = (1/2) * (16/15) = 8/15.
3. Теперь найдем tg(2α + β): Для этого используем формулу для суммы углов:
   • tg(2α + β) = (tg(2α) + tg(β)) / (1 - tg(2α) * tg(β)).
   Подставим найденное значение tg(2α) = 8/15 и tg(β) = 7/23:
   • tg(2α + β) = (8/15 + 7/23) / (1 - (8/15) * (7/23)).
4. Находим общий знаменатель для tg(2α) + tg(β):
   • Общий знаменатель для 15 и 23 равен 345. Таким образом:
   • 8/15 = (8 * 23) / 345 = 184 / 345,
   • 7/23 = (7 * 15) / 345 = 105 / 345.
   • Теперь сложим: 184/345 + 105/345 = 289/345.
5. Теперь найдем произведение tg(2α) * tg(β):
   • (8/15) * (7/23) = 56 / 345.
6. Теперь подставим все в формулу:
   • tg(2α + β) = (289/345) / (1 - 56/345) = (289/345) / (289/345) = 1.
7. Таким образом: tg(2α + β) = 1, что означает, что 2α + β = arctg(1).
8. Итак, окончательный ответ: 2arctg(1/4) + arctg(7/23) = arctg(1) = π/4 (или 45 градусов).

Таким образом, мы пришли к результату, используя свойства арктангенса и формулы для суммы углов. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!

Принцип решения выражения 2arctg(1/4) + arctg(7/23):

1. Использовать формулу двойного угла для арктангенса: arctg(2x) = 2arctg(x) / (1 - x^2).
2. В данном случае x = 1/4, подставить в формулу и упростить.
3. Затем использовать формулу для суммы углов: arctg(a) + arctg(b) = arctg((a + b) / (1 - ab)), если ab < 1.
4. Подставить значения a = 1/4 и b = 7/23, упростить выражение.