Для начала, давайте разберемся с формулой суммы первых n членов последовательности, заданной выражением 3^n - 1.

Сначала определим, что такое сумма первых n членов последовательности. Если у нас есть последовательность a_n, то сумма первых n членов обозначается как S_n и вычисляется по формуле:

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n

В нашем случае, мы видим, что a_n = 3^n - 1. Теперь давайте найдем сумму первых n членов этой последовательности:

1. Подставим выражение a_n в формулу суммы:

S_n = (3^1 - 1) + (3^2 - 1) + (3^3 - 1) + ... + (3^n - 1)

2. Сгруппируем по отдельным членам:

S_n = (3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^n) - n

3. Теперь воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии:

Сумма первых n членов геометрической прогрессии S = a * (1 - r^n) / (1 - r), где a - первый член, r - знаменатель прогрессии.

В нашем случае a = 3, r = 3:

S_n = 3 * (1 - 3^n) / (1 - 3) = 3 * (1 - 3^n) / -2 = (3^{n+1} - 3) / 2

4. Теперь подставим это в нашу формулу суммы:

S_n = (3^{n+1} - 3) / 2 - n

Таким образом, формула для суммы первых n членов последовательности, заданной выражением 3^n - 1, будет:

S_n = (3^{n+1} - 3) / 2 - n

Теперь давайте найдем номер члена, который равен 162. Мы ищем такое n, для которого:

a_n = 3^n - 1 = 162

Решим это уравнение:

1. Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

3^n = 163

2. Теперь найдем n, используя логарифмы:

n = log_3(163)

Теперь нам нужно вычислить значение log_3(163). Это можно сделать через натуральные логарифмы:

n = ln(163) / ln(3)

Теперь, если вы используете калькулятор, то:

• ln(163) примерно равно 5.089.
• ln(3) примерно равно 1.099.
• Теперь делим: 5.089 / 1.099 ≈ 4.63.

Так как n должно быть целым числом, округляем до ближайшего целого числа. В данном случае n = 5, так как 4.63 округляется до 5.

Теперь проверим:

a_5 = 3^5 - 1 = 243 - 1 = 242 (это больше 162)

a_4 = 3^4 - 1 = 81 - 1 = 80 (это меньше 162)

Таким образом, n = 5 не подходит, и n = 4 также. Следовательно, 162 не является членом данной последовательности.

В заключение, формула суммы первых n членов последовательности равна S_n = (3^{n+1} - 3) / 2 - n, а номер члена, равного 162, не существует в данной последовательности.