Какова скорость и ускорение материальной точки, которая движется прямолинейно по закону t = -1/4 x⁴ + 2t³ + 5t, в момент времени t = -2 секунды?

Алгебра 11 класс Производные и их применение в физике скорость материальной точки ускорение материальной точки движение по закону алгебра 11 класс задача по алгебре Новый

Для нахождения скорости и ускорения материальной точки, движущейся по заданному закону, нам необходимо сначала определить скорость, которая является производной от положения по времени, а затем ускорение, которое является производной скорости по времени.

Дано уравнение движения:

x(t) = -1/4 * t^4 + 2 * t^3 + 5 * t

1. Найдем скорость. Скорость v(t) вычисляется как производная положения x(t) по времени t:

v(t) = dx/dt = d/dt (-1/4 * t^4 + 2 * t^3 + 5 * t)

Теперь найдем производные каждого члена:

• Производная от -1/4 * t^4 равна -1/4 * 4 * t^3 = -t^3.
• Производная от 2 * t^3 равна 2 * 3 * t^2 = 6 * t^2.
• Производная от 5 * t равна 5.

Таким образом, скорость будет:

v(t) = -t^3 + 6 * t^2 + 5

2. Теперь подставим t = -2 секунды в уравнение скорости:

v(-2) = -(-2)^3 + 6 * (-2)^2 + 5

Вычислим каждый член:

• -(-2)^3 = -(-8) = 8.
• 6 * (-2)^2 = 6 * 4 = 24.
• 5 остается без изменений.

Теперь сложим все результаты:

v(-2) = 8 + 24 + 5 = 37.

Таким образом, скорость в момент времени t = -2 секунды равна 37 единицам.

3. Теперь найдем ускорение. Ускорение a(t) вычисляется как производная скорости v(t) по времени t:

a(t) = dv/dt = d/dt (-t^3 + 6 * t^2 + 5)

Теперь найдем производные каждого члена:

• Производная от -t^3 равна -3 * t^2.
• Производная от 6 * t^2 равна 6 * 2 * t = 12 * t.
• Производная от 5 равна 0.

Таким образом, ускорение будет:

a(t) = -3 * t^2 + 12 * t

4. Подставим t = -2 секунды в уравнение ускорения:

a(-2) = -3 * (-2)^2 + 12 * (-2)

Вычислим каждый член:

• -3 * (-2)^2 = -3 * 4 = -12.
• 12 * (-2) = -24.

Теперь сложим результаты:

a(-2) = -12 - 24 = -36.

Таким образом, ускорение в момент времени t = -2 секунды равно -36 единицам.

Ответ: В момент времени t = -2 секунды скорость равна 37 единицам, ускорение равно -36 единицам.