Какова сумма первых 16 членов арифметической прогрессии, если сумма второго и двадцатого членов равна 10, а их произведение равно 1519/64?

Алгебра 11 класс Сумма арифметической прогрессии сумма первых 16 членов арифметическая прогрессия сумма членов произведение членов алгебра 11 класс Новый

Давайте решим задачу по шагам. Нам известны два условия: сумма второго и двадцатого членов арифметической прогрессии равна 10, а их произведение равно 1519/64.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как a, а разность прогрессии как d. Тогда:

• Второй член прогрессии: a + d
• Двадцатый член прогрессии: a + 19d

Теперь запишем условия задачи в виде уравнений:

1. Сумма второго и двадцатого членов: (a + d) + (a + 19d) = 10
2. Произведение второго и двадцатого членов: (a + d)(a + 19d) = 1519/64

Первое уравнение можно упростить:

2a + 20d = 10

Разделим всё на 2:

a + 10d = 5

Теперь выразим a через d:

a = 5 - 10d

Подставим это значение во второе уравнение:

(5 - 10d + d)(5 - 10d + 19d) = 1519/64

Упрощаем:

• Первый множитель: 5 - 9d
• Второй множитель: 5 + 9d

Теперь у нас есть:

(5 - 9d)(5 + 9d) = 1519/64

Это выражение можно упростить, используя формулу разности квадратов:

25 - (9d)^2 = 1519/64

Теперь перенесем 25 в правую часть:

-(9d)^2 = 1519/64 - 25

Приведем 25 к общему знаменателю:

25 = 1600/64

Таким образом, у нас получается:

-(9d)^2 = 1519/64 - 1600/64 = -81/64

Теперь умножим обе стороны на -1:

(9d)^2 = 81/64

Теперь извлечем квадратный корень:

9d = ±9/8

Следовательно, d = ±1/8.

Теперь подставим значение d обратно в уравнение для a:

• Если d = 1/8: a = 5 - 10*(1/8) = 5 - 5/4 = 15/4
• Если d = -1/8: a = 5 - 10*(-1/8) = 5 + 5/4 = 25/4

Теперь мы можем найти сумму первых 16 членов арифметической прогрессии. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d)

Подставим n = 16, a и d:

• Для a = 15/4 и d = 1/8:

S_16 = 16/2 * (2*(15/4) + 15/8) = 8 * (30/4 + 15/8)

Упрощаем: 30/4 = 60/8

S_16 = 8 * (60/8 + 15/8) = 8 * (75/8) = 75

• Для a = 25/4 и d = -1/8:

S_16 = 16/2 * (2*(25/4) + 15*(-1/8)) = 8 * (50/4 - 15/8)

Упрощаем: 50/4 = 100/8

S_16 = 8 * (100/8 - 15/8) = 8 * (85/8) = 85

Таким образом, сумма первых 16 членов арифметической прогрессии может быть равна либо 75, либо 85, в зависимости от значения d.

Ответ: Сумма первых 16 членов арифметической прогрессии равна 75 или 85.