Каковы должны быть размеры закрытого короб в форме прямоугольного параллелепипеда, если стороны его основания относятся как 2 : 3, объем равен 576 м3, и полная поверхность должна быть минимальной?

Алгебра 11 класс Оптимизация и задачи на экстремумы размеры короб закрытый короб прямоугольный параллелепипед алгебра 11 класс стороны основания объем 576 м3 полная поверхность минимальная поверхность задачи по алгебре оптимизация размеров отношение сторон 2:3 Новый

Давайте решим задачу о нахождении размеров закрытого коробки в форме прямоугольного параллелепипеда с заданными условиями. Нам нужно определить размеры так, чтобы минимизировать полную поверхность при заданном объеме.

Шаг 1: Определим переменные

• Обозначим ширину коробки за 2x.
• Длину обозначим как 3x.
• Высоту обозначим за y.

Шаг 2: Запишем уравнение для объема

Объем V параллелепипеда вычисляется по формуле: V = длина × ширина × высота. Подставляя наши обозначения, получаем:

V = (2x) × (3x) × y = 6x²y.

По условию задачи, объем равен 576 м³, значит:

6x²y = 576.

Отсюда мы можем выразить y:

y = 576 / (6x²) = 96 / x².

Шаг 3: Запишем формулу для полной поверхности

Полная поверхность S прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

S = 2(длина × ширина + длина × высота + ширина × высота).

Подставляя наши обозначения, получаем:

S = 2(2x × 3x + 2x × y + 3x × y) = 2(6x² + 2xy + 3xy) = 12x² + 10xy.

Теперь подставляем y из предыдущего шага:

S = 12x² + 10x(96 / x²) = 12x² + 960 / x.

Шаг 4: Найдем минимум полной поверхности

Чтобы минимизировать S, нужно найти производную по x и приравнять её к нулю:

S' = 24x - 960 / x².

Приравниваем производную к нулю:

24x³ - 960 = 0.

Решаем это уравнение:

24x³ = 960,

x³ = 40,

x = 2∛5.

Шаг 5: Найдем размеры коробки

• Ширина: 2x = 2 * 2∛5 = 4∛5 м.
• Длина: 3x = 3 * 2∛5 = 6∛5 м.
• Высота: y = 576 / (6 * (2∛5)²) = 576 / (24 * 5) = 576 / 120 = 4.8 м.

Итак, окончательные размеры коробки:

• Ширина: 4∛5 м.
• Длина: 6∛5 м.
• Высота: 4.8 м.

Таким образом, мы нашли размеры закрытого коробки, которые соответствуют всем заданным условиям.