Вопрос: Участок в форме прямоугольника площадью 800 м² огорожен забором с трех сторон. Какова наименьшая длина забора?

Алгебра 11 класс Оптимизация и задачи на экстремумы алгебра 11 класс участок прямоугольник площадь 800 м² забор три стороны наименьшая длина математическая задача Новый

Давайте решим задачу о нахождении наименьшей длины забора, который ограждает участок в форме прямоугольника с площадью 800 м², при этом забор установлен только с трех сторон.

Обозначим стороны прямоугольника как a и b. Поскольку площадь прямоугольника равна произведению его сторон, мы можем записать следующее уравнение:

• P = a * b = 800

Теперь, если мы выразим одну из сторон через другую, например, пусть b будет выражено через a:

• b = 800 / a

Следующим шагом определим длину забора, который ограждает участок с трех сторон. Так как забор установлен с одной стороны вдоль стороны b и с двух сторон вдоль стороны a, длина забора L будет равна:

• L = a + 2b = a + 2 * (800 / a)

Теперь у нас есть функция длины забора L, которую мы можем упростить:

• L = a + 1600 / a

Чтобы найти наименьшее значение этой функции, необходимо взять производную L' и приравнять её к нулю:

• L' = 1 - 1600 / a²

Теперь решим уравнение:

• 1 - 1600 / a² = 0

Переносим 1600/a² на другую сторону:

• 1600 / a² = 1

Умножаем обе стороны на a²:

• 1600 = a²

Из этого уравнения мы можем выразить a:

• a = √1600 = 40

Теперь, зная значение a, найдем b:

• b = 800 / 40 = 20

Итак, мы нашли размеры сторон прямоугольника: a = 40 м и b = 20 м. Теперь можем подставить эти значения в формулу длины забора:

• L = 40 + 2 * 20 = 40 + 40 = 80 м

Ответ: Длина наименьшего забора составляет 80 метров.